CHAPITRE lit

l’inverse, l’association de ces deux principes faite sous certaines conditions ne reproduira-t-ellc pas le corps liquide, sans aucune apparence de gaz, de même que les éléments £ et£* associés par voie de mulliplication reproduisent l’unité sans aucune apparence d’imaginaire ? Or, quand on y réfléchit, il n’y a pas plus de difficulté pour l’intelligence à accepter le premier de ces faits que le second, leur compréhension rentre dans le même ordre d’idées; c’est que ni l’eau, ni l’unité ne sont des corps simples; celle-ci en algèbre est un composé, de même que l’eau l’est en chimie; et il ne peut dépendre ni des personnes ni des choses qu’il en soit autrement, parce que la nature l’a ainsi voulu.

Rentrons maintenant dans le domaine algébrique, et poursuivons le cours de nos investigations.

Quelque impossible que soit l’opération y— elle n’est pas cependant quoi que ce soit. Elle est nécessairement ce que la font les indices algébriques qui la constituent; elle aurait d’autres indices qu’elle serait autre chose. C’est donc un mode d’impossibilité spécial qui dérive de l’algèbre d’une manière plutôt que d’une autre, et qui, par conséquent, en vertu même de son mode de dérivation, sera soumis à des règles particulières, jouira de certaines propriétés nécessairement conformes à sa constitution. Or, parmi ces propriétés, les calculs algébriques nous révèlent la suivante : c’estqu’eii fait, il existe des binômes de la forme a y— I, qui, suivant les valeurs particulières attribuées à a et à h, sont tels, qu’élevés à certaines puissances dont les degrés sont en rapport avec ces valeurs, ils donnent pour résultat l’unité. L’expérience nous apprend encore qu’il n’est pas de puissance pour laquelle de pareils binômes n’existent pas ; elle nous apprend enfin que, pour chaque puissance, il y a autant de ces binômes que l'indique le degré de cette puissance.

Voilà donc des expressions algébriques qui, tout impossibles qu’elles sont dans leur état actuel, n’en possèdent pas moins la propriété de conduire, à la suite d’opérations algébriques définies, à des résultats réels. Or, l’existence de ces binômes une fois constatée, il ne saurait nous être permis de les supprimer ; il ne nous appartient pas de ne tenir aucun compte d ’ejipressions qui revêtent la forme algébrique, que l’algèbre a

créées, qui font bien partie de son domaine, et auxquelles nous pouvons appliquer toutes les opérations de celte science. Nous aurions d’autant moins le droit de le faire, que pour certaines de ces opérations elles deviennent réelles, et sont ainsi trèspropres à nous conduire, dans les usages que nous en pourrons faire, à des résultats fort admissibles dans l’ordre des choses possibles et concevables. Vouloir les élaguer, ce serait dépouiller l’algèbre de la généralité qui lui appartient et qui constitue un de ses plus remarquables et de ses plus féconds attributs. C’est ce que nous expliquerons plus en détail tout à l’heure.

On pourra dire à la vérité que, tout en acceptant le fait, on ne comprend guère la raison d ‘être d’expressions qui sont impossibles et irréalisables, et qu’à ce point de vue, cette généralité ne serait qu’une inutilité, si elle n’était une embarrassante superfétation. Nous répondrons d’abord que si l’algèbre n’était qu’une arilhmétiiiue générale, si elle ne devait s’appliquer qu’à l’étude des nombres abstraits, des nombres à unité indivisible, il se pourrait qu’on eût quelque raison de penser ainsi ; toutefois, il ne faudrait pas prononcer sur ce point dans un sens trop absolu. Car enfin, comme nous ne sommes pas infaillibles, il n’y a rien quede naturel à admettreque, sansnous en douter, nous avons pu demandera l’algèbre de résoudre une question impossible. Ne faut-il pas dès lors que celte science ait les moyens de nous apprendre qu’elle ne peut pas nous satisfaire? Si, par exemple, c’est à tort que nous lui demandons un nombre entier, elle nous donnera pour solution une fraction; si elle ne peut pas meme nous donner une fraction, elle nous répondra par une expression irrationnelle. Or qui pourrait prétendre qu’il n’y aura pas telle autre nature de demande impossible, ayant pour réponse obligée la forme imaginaire? S’il en est ainsi, la nécessité de cette forme ne sera-t-elle pas justifiée afin que l’algèbre puisse avoir réponse à tout?

Ainsi l’imaginaire ne viendrait-il pas s’imposer au début comme conséquencealgébrique des opérations prescrites parl’é- • noncé, qu’il pourrait, si notre proposition était justifiée, y être introduit par nous- mêmes, en vertu de certaines impossibilités