CHAPITRE

arithmétique, celles-ci ne peuvent être pratiquées de manière à conduire en dernier ressort à un numéro, il s’en suit que, bien que le rapport en lui-même soit tout à fait de forme et de conception abstraite,néanmoins sa manifestation se trouve caractérisée par des signes d’opération dont le domaine de Tabstraction est inhabile à nous donner l’interprétation. C'est alors qu’un appel fait aux considérations concrètes est suscep- * tible, suivant les cas, de nous conduire à des réalisations faciles, parce qu’en vertu des attributs inhérents à certaines quantités et que ne possède pas le nombre, nous reconnaîtrons par l’étude de ces attributs qu’on peut avec eux obtenir une représentation physique, actuelle etéquivalentede ces rapports pour lesquels l’algèbre a dit ce qu’il faut faire, sans pouvoir le faire elle-même.

Reconnaissons donc que l’algèbre ne réalise et n’irréalise rien des objets qui lui sont conQés. Elle crée des types de rapport, elle les formule, tel est son rôle. Elle nous livre ces types et elle nous les garantit; c’est ensuite à nous à formuler à notre tour, d’après les lois naturelles des objets soumis à nos spéculations et suivant le degré de nos intelligences, les diverses applications qu’il est permis de faire de ces types. C’est ce qui sera plus amplement développé dans la seconde partie de cet écrit.

En résumé, n’allons pas même jusqu’à dire que le nombre doit être toujours réel, ce serait trop. Sans doute il est réel, mais il n’est qu’entier. Maintenons-le avec le seul attribut qui résulte de sa définition, ou pour mieux dire de sa conception, car l’idée de pluralité est une idée primitive qui ne saurait être déGnie; ne voyons dans le nombre que le caractère essentiel de sa formation par la répétition d’une unité indivisible. Gardons-nous de vouloir l’associer à des qualifications qui ne sont que de perpétuelles contradictions avec la simplicité de sa nature et la clarté instinctive de sa conception ; mais disons que dans les dilTérentes questions que nous pourrons nous proposer de résoudre, et dans lesquelles il vient prendre place, le nombre se trouvera en faitsoumisàdes rapportsou à des opérations qui, sans altérer en rien sa nature et l’idée que nous devons en avoir, nous placeront momentanément dans l’impossibilité d’arriver

au but par la seule idée de luiinéralion. Sera-t-il possible d'y arriver autrement? Voilà la seule explication raisonnable que nous devions tenter; mais vouloir rendre l’idée de nombre solidaire de cette impossibilité est une interprétation qui doit répugner à l’intelligence, et qui d’ailleurs, on vient de le voir, ne s’accorde pas plus avec l’algèbre qu’avec le bon sens.

Posons donc, comme conclusion définitive, que quant à l’essence des quantités et des nombres qui les représentent, elle est et doit rester immuable, car, nous l’avons déjà dit, elle ne dépend pas jtlus de l’algèbre que de nous-mêmes, elle sera toujours ce que la nature l’a faite, et personne n’a le droit d’y rien ajouter, d’en rien retrancher. Il n’en est pas de même des rapports et des opérations. Les premiers sont notre œuvre directe etle résultat nécessaire de nos demandes : à nous donc la responsabilité des effets, parce que nous sommes ici la véritable et unique cause agissante. Les secondes sont les moyens qu’emploie l’algèbre pour exprimer ces rapports: à l’algèbre par conséquent là responsabilité des moyens.

IjU situation étant ainsi bien définie, comment pourrait-on être autorisé, parce qu’une impossibilité se manifeste, à vouloir faire de cette impossibilité un qualificatif non défini, un attribut mystérieux qu’il faudrait associer à l’idée de nombre? Non-seulement un si incroyable procédé n’expliquerait rien, mais il viendrait détruire dans notre esprit la conception même du nombre. N’est-il pas plus simple, plus naturel, plus vrai d’affirmer que l’impossibilité dans la réponse ne peut nécessairement correspondre qu’à une impossibilité dans la demande, ou à une insuffisance dans les moyens? Par là, nous désintéressons le nombre, nous le laissons tel qu’il a été créé, tel qu’il est, tel qu’il nous est permis de le comprendre, et nous évitons de faire d’une obscurité une seconde obscurité plus embarrassante encore que la première.

Quant aux rapports et aux opérations, s’il ne nous est pas permis de tes réaliser, nous saurons du moins comment ils se produisent, pourquoi leur présence est nécessaire, de quelle nature sont les obstacles qui s’opposent à leur réalisation. Nous arriverons ainsi à comprendre, dans le domaine de l’abstraction, que si des impossibilités existent, ce n’est pas en cherchant à les solidariser avec l’idée de nombre que nous parvien-