CHAPITRE III

Celte même propriété dont jouit la longueur d’être continue, et par conséquent indéfiniment divisible, me permettra aussi de concevoir que je pourrai, par voie d’approximation, obtenir les valeurs irrationnelles; je reconnaîtrai même plus tard, en vertu de certaines propriétés géométriques, que, dans quelques circonstances, il me sera possible de réaliser sous forme finie des longueurs dont l’expression est irrationnelle.

Enfin, si à la continuité j’ajoute la propriélé dont jouit la ligne droite de pouvoir être conçue, non pas dans une position fixe sur un plan, mais sur l’une quelconque des directions que l’esprit peut concevoir comme émanant d’un point pris sur ce plan, j’arrive alors à reconnaître d’abord que certaines formes imaginaires sont les représentants algébriques naturels de ces directions; en second lieu, que le binôme o -f 6 considéré dans toute sa généralité, est l’expression complexe des deux attributs de la ligne droite, savoir : la longueur et la direction ; de sorte que, pour cette espèce de quantité, les expressions algébriques quelles qu’elles soient seront toujours réalisables.

Généralisant ensuite, pour d’autres' espèces déjà connues ou non encore étudiées, les considérations auxquelles nous venons d’être conduits pour la ligne droite, nous dirons que lorsque nous nous serons assurés qu’une quantité jouit de propriétés analogues en tout point à celles de la ligne droite, la forme algébrique a-\-b lui sera tout aussi bien applicable qu’à celle-ci ; si les espèces ne possèdent pas tous les privilèges de la ligne droite, si par exemple elles n’ont que celui des directions, il ne faudra accepter pour elles dans la forme imaginaire que la partie de cette forme qui est spécialement applicable aux directions; c’est ce qui arrive, par exemple, dans la théorie des nombres, où le principe de la continuité fait défaut et où celui de l’ordre ou de la direction existe seul.

Enfin, pour les quantités qui ne jouiront que du principe de la continuité, la forme imaginaire devra être considérée comme un véritable symbole d’impossibilité.

Qu’on veuille bien nous pardonner celle légère digression sur le domaine concret ; nous nous sommes d’ailleurs borné à la simple énonciation des principes qui s’y rattachent, sans entrer dans aucun détail démonstratif, parce que ce n’est pas là

notre objet actuel. Mais si l’on admet un instant que ces principes sont vrais, et c’est ce que nous établirons dans la deuxième partie de cet ouvrage, on comprendra, nous l’espérons, que, dans leur ensemble, les considérations que nous venons de développer sont une très-satisfaisante justification de la présence dans les calculs d’expressions algébriques de toutes formes et de la nécessité de cette présence, soit pour nous avertir de certains cas d’impossibilité lorsque ces formes ne sauraient convenir à la nature de la quantité étudiée, soit pour nous apprendre ce que nous aurons à faire lorsque ces formes pourront être considérées comme les représentants algébriques de certains attributs appartenant à ces quantités.

Revenons maintenant à l’examen que nous avons commencé de la mise des problèmes en équation.

Nous aurons peu de choses à dire sur le choix à faire des moyens propres à résoudre l’équation du problème, une fois que celle-ci a été posée. 11 s’agit ici d’un ordre de considérations qui dépend moins de règles générales que de la sagacité individuelle du calculateur. Chacun, suivant la tournure de son esprit, suivant l’expérience que le travail lui aura fuit acquérir en ces sortes de matières, suivant ses connaissances plus ou moins approfondies sur les principes, la coustitution et le fonctionnement de la science algébrique, sera plus ou moins heureux dans le choix de ces moyens. Nous nous bornerons à faire remarquer que les plus simijles seront toujours les meilleurs, non-seulement parce qu’ils conduiront plus brièvement au but, mais encore parce que toute complication à ce sujet est susceptible d’introduire dans la question autre chose que ce dont nous poursuivons la réalisation. Il faut remarijuer, en effet, que si déjà, dès le début, les élévations aux puissances commandées par l’énoncé sont une cause implicite, mais inévitable, d’introduction des formes imaginaires, il en sera encore de même des nouvelles élévations aux puissances auxquelles nous serons obligés de recourir d’après la nature particulière des moyens dont nous aurons fait choix pour résoudre le problème. 11 ne pourra donc être (|ue très-utile, si

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CHAPITBE III.

l’on veut éviter tout excès d’encombrement, de s’appliquer à simplifier autant que possible le mécanisme des procédés à mettre en œuvre.

Nous voilà donc bien avertis qu’infaitliblement, que nous le voulions ou que nous ne le voulions pas, la simple mise d’un problème en équation, passé le premier degré, nous conduit à l’imaginaire, et cela de par l’algèbre même, en vertu de propriétés algébriques que nous n’avons pas qualité de supprimer et que nous sommes obligés de subir. Nous voyons en outre que, l’éijuation une fois posée, si, pour la résoudre, nous sommes conduits à recourir encore à d’autres opérations de la même espèce, nous donnerons ouverture, et par les mêmes motifs, à une nouvelle introduction d’imaginaires. Enflrr nous avons fait remarquer qu’indépendammenl de ces deux causes, il y en a une troisième susceptible de nous conduire aune impossibilité, et nous avons dit que celte cause tient à ce que, sans nous en douter, nous avons pu demander à l’algèbre la justification de rapports impossibles.

Voilà bien des motifs, on en conviendra, de ne pas tant s’étonner qu’au bout de ses réponses l’algèbre nous donne si souvent de l’imaginaire, et, (juant à nous, nous serions plutôt surpris qu’elle ne nous en donnât pas presque toujours.

Mais il ne suffît pas de justifier l’intervention de l’imaginaire dans ce qu’elle a de rationnel en principe, il faut encore tâcher de faire comprendre ce qu’elle paraît avoir d’inexplicable ou d'obscur, si l’on veut, dans les apparences.

11 est incontestable qu’à moins de prendre ostensiblement l’imaginaire même comme point de départ dans une question, nous n’en trouvons jamais aucune apparence dans l’équation du problème; il en est de même dans les équations que nous sommes conduits à substituer successivement à la première lorsque nous procédons à la recherche de la solution, et c’est peut-être là l’unique cause de beaucoup de surprises et d’hésitations ; ce n’est qu’à la fin des calculs que celte forme se manifeste et vient nous jeter dans des conditions d’exécution irréalisables.

11 y a dans tout ceci une difficulté plus spécieuse que réelle, on va en juger. Ne perdons pas de vue les principes, ayons-les toujours présents à la pensée, reportons-nous incessamment aux définitions, c’est là que nous trouverons réponse à tout.

A cet effet, remarquons encore une fois que l’imaginaire n’est pas quoi que ce soit, c’est une opération algébrique parfaitement définie, qui n’obéit à aucun caprice, mais aux règles mêmes de sa définition. Or, nous l’avons déjà dit, en vertu de ces règles, il faut nécessairement reconnaître, entre autres choses, que toutes les puissances paires de y sont réelles et égales successivement à l’unité négative et à l’unité positive; si donc une équation ne contient que des puissances paires de l’inconnue, l’imaginaire \/ — i,qui pourrait affecter cette inconnue comme facteur, disparaîtra sous le couvert de ces puissances ; nous ne la verrons pas au début; mais lorsque, à la fin des calculs, le voile de ces puissances aura disparu, l’apparition de l'imaginaire deviendra inévitable.

Si au lieu de la forme simple y — i, nous prenons celle de la racine cubique de l’unité, comme toutes les puissances triples de cette forme sont égales à l’unité, il en résulte que si, dans une équation, l’inconnue ne figure que par ses puissances triples, l’imaginaire, quoique non apparent au début, se manifestera à la fin.

Nous en dirions autant des racines de l’unité d’un degré quelconque.

Allons maintenant plus loin. Au lieu de formes particulières, supposons qu’il s’agisse de la forme générale a-f-ày' — i, il est facile de prouver quedela définition de y'^, il résulte nécessairementque si cette forme est multipliée par cette autre a — b y — i , le produit sera réel et égal à a’ -i- 6*; on voit en même temps que la somme des deux mêmes quantités est réelle; or, comme on sait que dans l’équation du second degré le coefficient du terme en x est égal à la somme des racines prise en signe contraire, et que le terme tout connu est égal à leur produit, on voit par la que les deux formes ci-dessus, tout imaginaires qu’elles sont, pourront être la conclusion d’une équation du second degré dans la composition de laquelle toutes les apparences seront réelles.

CHAPITKE 111.

Mais comme en vertu de cette même définition de v'— i tout autre binôme — i,ditférenldea — 6y' — i, ne donnerait

ni pour sa somme ni pour son produit avec a + 6 \/— i un résultat réel, auquel cas l’imaginaire paraîtrait nécessairement dans l’équation, nous voyons qu’une équation du second degré à coefficients réels ne peut conduire à des résultats imaginaires qu’à la condition que ces résultats formeront un couple de la forme a±b\ ^ .

Nous n’insisterons pas davantage sur ces sortes de considérations qui sont certainement dans l’esprit de tous tes géomètres; il suffit de les avoir rappelées pour faire immédiatement comprendre que si déjà, au point de vue du fond, il n’y a pas à s’étonner que l’imaginaire introduit à profusion dès le début, par l’ordonnance même des procédés de solution, est parfaitement en droit de se manifester à la fin, il n’y a pas plus lieu de s’étonner davantage, quant aux apparences, que la forme réelle puisse faire aboutir à la forme imaginaire. Cela tient, envient de le voir, à ce fait bien constaté que, de son côté, et en vertu de sa définition même, cette dernière forme est susceptible, à la suite de certaines opérations, de conduire àla première. Ainsi, à tous les points de vue, et sous l’empire de certaines conditions définies, la concordance possible entre les deux formes dans un même calcul se trouve justifiée.

Parvenu à ce point, ayant reconnu, d’une part, qu’en ce qui concerne les apparences, la forme d’une équation à coefficients réels n’est nullement en opposition avec des conclusions de forme imaginaire; que, d’autre part, au fond, la manifestation de cette dernière forme dans le résultat s’explique par le triple motif : 1” que 1a mise du problème en équation l’introduit implicitement dans la traduction algébrique que nous faisons de l’énoncé ; 2» que les procédés mis en œuvre pour arriver à la solution sont une nouvelle cause de son introduction; 3“ qu’enfin nous pouvons nous- même, à notre insu, provoquer, par suite d’une impossibilité dans la demande, la production d’un résultat impossible; parvenu à ce point, disons-nous, il semblerait que nous n’avons plus rien à ajouter et que toutes les incertitudes doivent avoir disparu.

Toutefois nous n’abandonnerons pas ce sujet sans présenter quelques observations sur la manière dont nous devons envisager et comprendre l’équation même qui est la traduction de l’énoncé, sur ce qu’il faut voir dans cette représentation algébrique d’une question , ^ur l’ensemble des choses qui concourent à sa composition, sur les mutations successives que nous faisons subir à cet ensemble. Nous croyons que cet examen a une importance réelle; car nous avons de sérieux motifs de penser que c’est parce qu’il n’a pas été suffisamment apjirofondi, que nous avons été souvent détournés d’attribuer aux résultats obtenus leur véritable interprétation, et (|ue nous avons été conduits à donner à ces résultats, trop exclusivement considérés comme des nombres, des qualifications qui sont toujours la source de très-grandes obscurités si on veut les appliquer à l’idée de nombre, etqui deviennent, pour ainsi dire, l’évidence même, si on veut les considérer comme applicables seulement ci l’idée d’opération.

Donnons à cetle pensée l’appui de développements justificatifs.

Il est évident que des nombres seuls ne sauraient former une (juestion, nous n’avons pas besoi n d’insister sur ce premier point. H faut en outre, et nécessairement, qu’il y ail un lien entre les nombres connus et le nombre à trouver; il est indispensable, pour que notre esprit puisse des premiers arriver à la détermination du second, que nous possédions la connaissance des rapports qui doivent exister des uns aux autres. Dans la science du calcul, ces rapports sont représentés à l’aide d’opérations algébriques. Gardons-nous donc de ne voir dans les questions que des nombres, comme on ne le fait que trop souvent; voyons-y tout ce qui s’y trouve, c’est-à-dire des nombres et des opérations. Quelle idée devrons-nous attacher d’après cela à l’équation du problème’ L’idée que celte équation représente, à l’aide d’opérations définies par l'énoncé, une relation entre les nombres tout connus et celui qui, ne l’étant pas encore, doit être propre à satisfaire à cetle relation. Cette équation est donc en résumé un ensemble de nombres et d’opérations.

CnAPITRE III.

Or toutes les modifications autorisées que je ferai subir àcettc équation seront et ne pourront être que ce qu’elle est elle-même, c’est-à-dire encore un ensemble de nombres et d’opérations, et il en sera toujours ainsi depuis le début jusqu’à la fin. Ces ensembles seront d’ailleurs tous équivalents, ou, tout au moins, ils contiendront tous une équivalence avec le premier, car s’ils ne jouissaient pas de cette propriété, s’ils ne possédaient pas constamment, sous les diverses formes qu’ils revêtent successivement, la relation même qui forme le |)oint de départ, les conditions primitives seraient changées, elles auraient disparu, et comme l’algèbre ne saurait faire d’elle-même une telle suppression, ce serait une preuve qu’inévitablement nous nous serions rendus coupables de quelque erreur dans nos recherches. D’après cela, l’équation finale en particulier, représentation équivalente de toutes celles qui l’ont précédée, sera comme elles un ensemble de nombres et d’opérations; seulement, tandis que jusqu’à elle les données et rinconniic ont été simultanément enchevêtrées dans les opérations à faire, ici il y a séparation complète entre les unes et les autres. L’inconnue se trouve seule d’un côté, dégagée de toute immixtion, de tout lieu avec tout le reste, tandis que, de l’autre côté, se trouvent cumulés tous les nombres connus ainsi (|ue toutes les opérations à faire.

En conséquence, et au point de vue général où il faut se placer en algèbre, nous devons reconnaîlreque ce que celle science nous offre comme solution d’une question est toujours une série d’opérations définies à exécuter sur des nombres connus. N’cslce pasd’ailleurs en fait ce que montre suffisamment l’expression algébrique d’une solution quelconque? On n’a, pour s’en convaincre, qu’à consulter les formules qui donnent lesracines des équations dans les degrés pour lesquels la résolution est possible.

Telle est la règle; l’énoncer autrement, dire par exemple que la solution doit être un nombre, c’est la restreindre, c’est lui substituer l’exception, c’est s’exposer à vouloir interpréter par la seule idée de nombre toutes les difficultés qui pourront se présenter, et qui le plus souvent, qui toujours frappent les opérations, et doivent, par conséquent, se reporter sur elles exclusivement. Or c’est parce que, faute d’avoir établi celte distinc-

bES FORMES IMAGINAIRES.

lion, nous avons été entraînés à faire rejaillir sur la seule idée dénombré les obscurités, les impossibilités de certains résultats, qu’une grande confusion a régné sur ces matières. Reniellons chaque chose à sa place, sachons reconnaître dans les calculs algébriques tout ce qui s’y trouve, et en même temps, des diverses parties de ce tout, constatons et respectons les origines. Laissons tel qu’il est le nombre, l’algèbre pas plus que nous n’a le droit d’en modifier l’essence et de lui donner d’autres attributs que ceux qui, de par sa nature même, lui appartiennent; mais reconnaissons que si l’algèbre, venant à l’englober dans ses rapports et ses opérations, lui donne parfois l’apparence d’une impossibilité, la cause en est que ces rapports et ces opérations sont eux-mêmes impossibles; car ce sont là les seules choses que l’algèbre fait intervenir dans ces questions. Tout le reste lui est donné, et elle le reçoit sans avoir ni le droit ni les moyens d’en changer la nature. Son unique fonction consiste à revêtir ces données des formes qui lui sont propres pour indiquer que les conditions de l’énoncé sont satisfaites; l’habit pourra ne pas aller queUpiefois, mais si un habit qui ne va pas peut gêner les allures d'un individu, il ne saurait changer la nature de celui auquel il est destiné.

Sans doute il pourra arriver, mais par exception, que le rapport résultant des opérations à faire se réduira à un nombre arithmétique, à un numéro, à un rang de l’échelle de pluralité. Dans ce cas, la trace des diverses opérations qu’il aura fallu faire pour obtenir celte expression finale aura disparu, et le rapport jouira de cette propriété exceptionnelle que l’idée de numération suffira à elle seule pour nous en donner l’intelligence complète; dans cette circonstance nous pourrons véritablement dire que la valeur de l’inconnue est un nombre, et une pareille réponse n’aura rien d’antipathique à l’idée que nous nous formons du nombre abstrait. Mais c’est là une grande exception ; le plus souvent, les diverses opérations qu’il faudrait faire, d’après l’expression écrite du rapport, ne seront pas immédiatement exécutables, et par conséquent leur indication devra continuer de subsister dans cette expression . Alors celle-ci sera un mélange de numéros et d’opérations, et l’idée seule de numération sera insuffisante à nous donner la conception du rapport, il faudra y joindre celle d’opérations à exécuter. Or si, au point de vue