CHAPITRE IV

Si dans le cas particulier que nous examinons ici et pour lequel nous trouvons que les racines sont

je supprime l’impossibilité \j—i, et si alors je fais usage des valeurs

j’aurai bien toujours a pour leur somme, mais je trouve-

fl*

rai pour leur produit — “C; or, comme ce produit était primitivement c ou —b', on voit qu’il devient maintenant

c’est-à-dire

La proposition nouvelle est donc différente de l’ancienne, et •comme la transformation consiste en ce que 6* remplace — b*, on voit qu’il y a changement de signe du carré, ce qui ne peut être produit, d’après la définition même de l’imaginaire, qu’en admettant que la racine de ce carré qui doit être f», pour réaliser l’un des deux cas, devra nécessairement devenir 6 pour con-

venir à l'autre ; or c’est précisément ce qui arrive, d’où il suit qu’il y a parfait accord entre le point de départ et les conclusions.

Et si maintenant je pars de la condition

au moyen de laquelle la contradiction précédente n’existe plus, pour descendre jusqu’aux nouvelles racines correspondant à cet état modifié de la question, l’impossibilité étant supprimée au début le sera également dans tout le cours des calculs, elle le sera à la fin; dès lors le signe caractéristique de cette impossibilité, c’est-à-dire ^ — i, n’existera plus, les racines seront devenues réelles.

PBS FORMES IMAGINAIRES.

Reconnaissons donc en résumé que, lorsque des racines imaginaires se présentent comme solution d’une question, il faut en conclure tout d’abord (jue c’est l’indice inévitable qu’une contradiction existe dans l’énoncé ; si alors on veut connaître quelle est la nature de cette contradiction, on commencera par dépouiller les racines du signe de l’opération impossible ; en cet élnt, on mettra en œuvre sur ces racines les opérations mêmes que la question autorise et commande, et on sera ainsi nécessairement conduit à une proposition différente delà première, qui sera le redressement qu’on doit faire subir à l’énoncé primitif pour que celui-ci, dans sa nouvelle forme, cesse de contenir une nouvelle contradiction ; auquel cas il ne pourra conduire, pour les mêmes circonstances que précédemment, qu’à des racines réelles. C’est ce dont nous présenterons tout à l’heure quelques applications.

En conséquence, de même que la présence des racines négatives, de ces racines auxquelles les géomètres donnèrent au début le nom de fausses solutions, se comprend et s’interprète aujourd’hui en faisant subir au besoin aux ternies de l’énoncé primitif un redressement après lequel elles deviennent positives, de même la manifestation des racines imaginaires n’impliquera pas pour notre intelligence une impossibilité à indépendance complète, une non-compréhension absolue de ce que peuvent signifier de pareilles racines, mais une impossibilité momentanée, dépendante, relative seulement à l’état dans lequel une question est présentée, et témoignant de l’insuffisance des moyens où est l’algèbre, d’exprimer avec la seule idée du nombre quelque chose d’équivalent à l’ensemble des conditions initiales.

Que le lecteur nous permette une comparaison qui nous paraît propre à bien rendre notre pensée.

Supposons un instant qu’intéressé au succès d’une demande dont la solution dépend d’un ministre, vous allez vous adresser à lui. Vous donnez à votre question une forme nette et précise, vous mettez, comme nous le disons en algèbre, le problème en équation. Le ministre vous écoute, il prend en con-

sidération les diverses parties de la question, il procède à l’examen et à la recherche des combinaisons dont ces diverses parties sont susceptibles, et, après avoir effectué ce travail, conséquence nécessaire de votre demande, et moyen non moins nécessaire d’arriver à la solution, il vous dit que si certaines circonstances, sur lesquelles il ne s’explique pas d’ailleurs, se produisent, vous serez satisfait. Or Si la nature de ces circonstances vous est inconnue, s’il ne vous est pas permis même d’entrevoir quels rapports elles pourraient avoir avec votre demande, si tout moyen de raisonnement vous échappe, il vous sera impossible d’assigner aucun sens à la réponse ; vous voudriez tirer une conclusion, que vous vous trouverez dans l’impuissance la plus complète de le faire. Vous serez alors exactement dans lu situation des algébristes qui se croient obligés de refuser toute compréhension à l’imaginaire.

Mais si, à la suite de quebjues recherches, vous parvenez à savoir ce que sont ces circonstances, par quels liens elles peuvent se rattacher à votre demande, si vous reconnaissez en outre que leur réalisation est tout à fait impossible, vous éprouverez sans doute une déception, mais vous ne serez plus empêché de raisonner et de conclure, vous aurez appris, parfaitement appris qu’au point de vue de votre demande, vous vous trouvez en présence d’une impossibilité. Or cela vaut toujours mieux que de ne rien comprendre, car alors, réfléchissant plus profondément sur la nature de l’obstacle qui vous arrête, éclairé sur ses causes et sur ses dépendances, vous recourrez au sage parti de rechercher dans quel sens et par quels moyens il est nécessaire de modifier vos pro|>ositions et vos démarches pour que l’impossibilité actuelle cesse d’être pour vous un empêchement d’atteindre sinon le but que vous poursuiviez, du moins celui qui s’en écarte le moins.

Il en est de même de l’algèbre; tant qu’on laissera à l’imaginaire tout le vague, toute rindétermination que ce mot jette dans l’esprit, il sera impossible de faire un pas en avant, notre intelligence sera frappée d’atonie. Mais si nous parvenons à dissiper cet état d’indécision, si nous renonçons à l’idée de vouloir reporter les effets de l’imaginaire sur les nombres, ce qui en ferait on ne sait quoi en leur attribuant un qualificatif non défini et serait plus encore que la négation de leur existence.

62 Des eormes imaginaires.

mais l’impossibilité de les comprendre tout en les laissant subsister ; si enfin nous en venons à reconnaître que l'imaginaire , quoique impraticable, est une opération algébrique définie, que cette impossibilité dans le résultat correspond et concorde avec une impossibilité équivalente dans les données; alors, mettant en œuvre, sur ce résultat, ainsi que nous venons de l’expliquer, la série des opérations que comporte la question, on sera conduit à un redressement de l’énoncé qui viendra dénouer les difficultés survenues, qui sera la véritable interprétation de ce qu’il faut faire pour que l’impossibilité qui s’est révélée soit anéantie dans la conclusion au moment même où elle vient de l’être dans les prémisses.

Peut-être quelques esprits ne voudront-ils voir dans tout ceci qu’un jeu de raisonnement, très-acceptable sans doute, au point de vue de la logique, et parfaitement fondé si l’on ne sort pas du domaine des abstractions, mais peu propre à être vulgarisé dans la pratique, peu susceptible de lui rendre des services, nullement ou très-peu applicable aux questions concrètes.

Nous répondrons à ces observations que c’est déjà quelque chose, ce nous semble, que d’être parvenu à faire accepter cette idée que ce à quoi jusqu'à présent on a si souvent refusé toute espèce de compréhension peut être compris et doit l’être comme une impossibilité, que de plus cette impossibilité porte uniquement sur une opération de calcul et non sur des nombres qu’elle rendrait inintelligibles, qu’enfin cette opération est mathématiquement définie. Accepter la question dans ces termes, c’est avoir, nous paraît-il, exclu l’imaginaire, ce monde tellement incertain qu’on ne devrait pas même songer à se demander s’il est permis de s’y mouvoir; c’est avoir substitué à un état de choses qui est une véritable interdiction pour l’intelligence une situation nouvelle qui, au contraire, faisant appel aux ressources actives de l’esprit, le convie à prendre corps à corps cette impossibilité, à l’interroger dans ses causes, à la connaître dans ses effets et à déduire de ces études les correctifs qu’il faut faire subir à notre pensée pour éviter des contradictions qu’elle n’a pas prévues et que cette impossibilité seule a rendues manifestes.

Avoir contribué à faire rayer le mot imaginaire du diction-