CHAPITRE IV

naire des sciences exactes, avoir développé et démontré ce point de doctrine que l’impossible de l’imaginaire est tout simplement un conséquent naturel et inévitable d’un antécédent contradictoire ne nous a pas paru être une chose indifférente, et voudrait-on réduire notre part à ce contingent, que notre ambition sera satisfaite. Mais dans une question il ne faut pas se contenter de voir seulement ce que la critique voudrait se borner à y mettre, il faut y rechercher tout ce qui s’y trouve, sans exagération sans doute, mais sans réticence. L’homme d’étude se doit tout entier à la vérité, il n’a pas le droit de la diminuer.

Or, sans prétendre que dans tous les cas l’imaginaire puisse être pratiquement interprété, c’est à profusion, dirons-nous, que, dans les applications, nous en pourrons indiquer la représentation soit opérative soit matérielle ; c’est à profusion que nous pourrons signaler les redressements d’énoncé qu’il commande et qui le détruisent; c’est à profusion que, dans les questions concrètes, nous pourrons dire : Voilà l’équivalent physique et réel de ce que vous appelez imaginaire.

Matérialisons donc encore plus que nous ne l’avons fait le critérium de nos preuves, entrons davantage dans les choses de la pratique , voyons comment elles accepteront l’abstraction , comment se comportera le concret en présence de l’idée qui vient le saisir et l’étreindre.

Dans l’exemple que nous avons cité, nous nous sommes proposé une question très-pratique sur les nombres. Nous nous sommes demandé quelles doivent être les valeurs de deux nombres x et y, pour que, leur somme étant égale à un nombre a, leur produit soit égal à un autre nombre donné c.

Nous avons vu que, lorsque ce produit devient supérieur au quarré de la moitié de a, les valeurs des racines prennent la forme imaginaire

x = --hh J — 1.

Nous avons en outre constaté que la présence de ces imaginaires correspond à une contradiction que nous avons introduite dans l’énoncé ; cette contradiction résulte de ce que nous avons

implicitement supposé qu’en retranchant au carré

celui

de b, nous devions avoir une différence supérieure à

ce

qui est évidemment impossible. De là la présence de racines imaf^inaires; enfin, par la forme même de ces racines, nous avonsélé conduit à cette conséquence quele redressement qu’il faut faire subir à l’énoncé, si l'on veut faire disparaître la contradiction, consiste à remplacer ta condition

par celle

Or, celle-ci est tout aussi pratique que la première, et elle constitue l’énoncé d’une nouvelle question non moins compréhensible que celle qu’elle est destinée à remplacer. En effet, la somme x-\-y restant toujours égale à o, la nouvelle condition ne diffère de la précédente qu’en ce que son premier membre

surpasse de 26’ ou de ^ (a; — y)’ le premier membre de celle-

ci. Dès lors la traduction du redressement d’énoncé indiqué par l’imaginaire consistera à dire que le produit des deux nombres, au lieu d’être immédiatement égal à c, ne pourra te devenir qu'après qu’on lui aura ajouté la moitié du carré construit sur la différence de ces mêmes nombres. On devra donc avoir actuellement

xy—c—^ix — yY-,

d’un autre côté, on a

Soustrayant la première de ces équations de la seconde, on trouve que la valeur de xy, en fonction de quantités toutes

connues, est-^ — c, et tel sera le dernier terme de l’équation qui prendra la forme

-• — az+-a* — c = 0

CHAPITRB IV.

Qu’on fasse maintenant usage pour a et pourc des valeurs 12 et 40 qui avaient d’abord conduit aux racines 6±2v — h t'tori obtiendra les mêmes racines dépouillées du signe de l’impossibilité, c’esl-à-dirc 6 ± 2.

Tout ceci est maintenant devenu très-net, très-précis, trèsréel, et comme c’est l’imaginaire qui nous y a conduit, on voit que celui-ci n’est pas aussi dépourvu de sens qu’on pourrait le croire ; qu’il peut au contraire avoir une mission parfaitement définie dans l’ordre des choses possibles, et que si son apparition momentanée est l’indice d’une impossibilité qui, à notre insn, s’est introduite dans nos demandes, il porte avec lui l’indication de ce qu’il faut faire pour rectifier les erreurs de nos jugements. Une pareille mission, à coup sûr, au lieu d’être imaginaire, présente un incontestable cachet d’utilité pratique, et n’y voudrail-on pas voir de l’algèbre qu’on sera tout au moins obligé d’y reconnaître un remarquable auxiliaire du bon sens.

Passons à un second exemple dans lequel, au lieu d’être averti par l’imagin.aire qu’une contradiction non soupçonnée s’est glissée dans l’énoncé, ce sera nous, au contraire, qui volonlairement provoquerons la présence de l’imaginaire en introduisant sciemment une contradiction dans la demande.

Si un nombre entier impaires! le produit de deux facteurs, il sera toujours possible de donner à ces fadeurs les formes a + l),a — 6 , les nombres a et b étant entiers. En elfet, x et 1/ étant ces facteurs, si l’on pose

x = a-j-b, y=ia — b,

on aura

et, connne x et y sont supposés impairs, ces deux expressions de a et de 6 seront dos nombres entiers. Il résulte de là qu’on peut dire que tout nombre entier impair est égal à la différence a* — 6’ des carrés de deux nombres entiers. Tant (pie cette forme appartiendra à un nombre, et sous ia réserve que

a — b n’est pas égal à l’unité, on sera certain que ce nombre ne saurait être premier. 11 suit de là qu’écrire que p étant un nombre premier, il est néanmoins égal à a' — b', ce serait évidemment et volontairement écrire une impossibilité, parce que l’idée de nombre premier est formellement exclusive de l’idée de multiple nécessairement inhérente à la forme a*— à’.

On n’hésitera donc pas à reconnaître qu’exiger que, même dans ce cas, p soit égal à un produit de la forme (a -j- b) (a — b) sera une chose impossible avec des nombres réels, toujours sous la condition que a — b n’est fias runilé. D’où il faut nécessairement conclure que, si néanmoins il existe des formes algébriques susceptibles de reproduire un nombre premier par voie de multiplication, ces formes ne sauraient exister en réel; elles seront imaginaires. On voit donc, dans le cas actuel, et à l'inverse de ce qui a eu lieu dans l’exemple précédent, comment la contradiction volontairement introduite dans la demande nous conduit à affirmer qu’il y aura certainement une impossibilité dans la réponse, avant même que la forme de cette impossibilité nous soit connue.

Et quant ù cette forme, parce que, tant que b sera réel, la différence des carrés a’ — à’ laisserait toujours subsistante l’idée de multiples réels, on comprend que le moyen d’échapper à cette contradiction consisterait en ce que le résultat de la multiplication, tout en donnant du réel puisque ce résultat doit être égal à p, cessât de revêtir la forme a’ — 6*. Or, sans qu’il soit nécessaire d’insister autrement sur ce point et en nous reportant à des observations plusieurs fois exposées dans ce qui précède, on voit que pour satisfaire à cette double condition il suffira de substituer b y — i à b. Alors, d’une part, le produit de la multiplication sera réel, et, d’autre part, la forme a'~b* aura disparu et se trouvera remplacée par celle

Certes, nous ne saurions prétendre que tous les nombres premiers seront égaux à un pareil produit; nous ne- prétendons pas davanlage qu’un produit de cette forme ne sera ap-* plicable qu'à des nombres premiers, mais nous sommes eu droit d’affirmer que, s’il y a des nombres premiers susceptibles d’être algébriquement reproduits par voie de multiplication, la