CHAPITRE V

de runité; que leur existence pour tons les degrés, que leur nombre dans chaque degré peuvent être rattachés à un seul principe, et que lorsqu’on a eu dit et admis en algèbre que — I multiplié par — I donne + i, cette théorie était, sinon constituée, du moins acquise à la science.

Et en effet, dire que— i multiplié par — i donne le même résultat que + I, c’est reconnaître en fait que l’unité a Jeux racines du second degré -1- i et — i ; or nous allons voir que tout le reste s’en suit naturellement.

On a pu, à l’origine, rester plus ou moins longtemps sur ce fait isolé et n’en déduire ni même en entrevoir aucune conséquence; mais du moment où les recherches algébriques ont appelé notre attention sur et nous ont démontré la nécessité d’avoir à tenir compte de cette expression, à laquelle nous n’aurions peut-être jamais songé sans cela; de ce moment, disons-nous, les racines quatrièmes de l’unité venaient prendre place dans la science, car la conséquence la plus immédiate de la forme même de \/— i a dû être que le carré de cette expression est égal à — i, racine seconde de l’unité, et par suite, il était impossible de ne pas reconnaître que y' — i en est la (quatrième. Mais alors, en vertu du même fait initial que

le produit ( — — 1 )( — \/ — i) donnera le même résultat que v' — I y'— I, c’est-à-dire — i, de sorte qu’au point de vue de la seconde, et par suite de la quatrième puissance, — y' — i conduisant aux mêmes conséquences que y^ est aussi une quatrième racine de l’unité; les deux autres sont ± i.

Cela posé, il ne fallait pas plus que la constatation de ces premiers faits pour que l’attention, éveillée sur la singularité de ces résultats, ne fût pas portée à se mettre en quête de ce qui pourrait arriver dans les degrés autres que le second et le quatrième, et de savoir s’il n’existerait pas pour eux des circonstances analogues à celles qui viennent d'être constatées. Une fois l’idée mise en avant, les conséquences étaient inévitables.

11 était donc naturel de se dire que, puisque y/ — i est la racine quatrième de l’unité, on serait certain d’en obtenir la huitième si l’on trouvait une expression dont le carré fût égal à

— I ; et comme à pari la raison générale que nous avons donnée pour que la forme de cette expression fût imaginaire, il y avait ici celle circonslance parliculière que le résullat cherché devait êlre liii-mème imaginaire, on a été conduit à admettre (pic cette expression ne pouvait être que de la forme p + q\ — i , (le sorte que ce qu’il y avait à faire consistait à rechercher ce qui pourrait advenir de la condition

Or, sans nous arrêter ici à des détails de calculs très faciles, on a reconnu que la valeur-^, commune à p et à q, satisfait

à cette équation ; d’où on a conclu que

est la racine hiiiliènie de l’unité. Mais à ce compte le négatif de cette expression donnant aussi y — i pour son carré est une seconde racine huitième de l’unité. D’ailleurs les carrés de

étant invariables quels que soient les signes de ces quantités, les effels de ces carrés resteront toujours les mêmes; quant aux doubles produits, ils prennent la forme ± \j — i, qui, étant l’une et l’autre des racines quatrièmes de l’unité, autorisent à dire que finalement l’expression

quelle que soit la combinaison des signes qu’on voudra adopter, sera une racine huitième de l’unité.

On a dû comprendre instinctivement qu’en continuant cette marche, on obtiendrait la seizième racine, puis la trentedeuxième. et ainsi de suite. Cette prévision n'a pas d’ailleurs tardé à être légitimée, parce qu’il est facile d’établir, par un calcul des plus simples, que sia-fèv'— i est la racine du degré 2*, celle du degré 2*^‘ aura pour valeur