CHAPITRE V

Il est, en outre, évident que si p + g v — • est une racine de l’unité du degré 2*, toutes les puissances dep +q v — i élevées elles-mêmes à la puissance 2‘ donneront pour résultat l’unité et seront à leur tour des racines; le nombre de celles-ci sera donc égal à 2‘.

EnQn l'existence des racines de l’unité pour cette catégorie de degrés étant constatée, on devait en conclure, du moins implicitement, qu’il y aurait de semblables racines pour Ions les degrés. Car si l’on a

p-f-gv— i =

on aura

Or, comme il n’y a pas de nombre entier s qui, au moyen de

la variation de A: et de ni, ne puisse être égal à — avec tel degré

d’approximation qu’on voudra, il s’en suit que p' et q' étant les valeurs de p et de g correspondant à celles de k et de m qui don-

nent — '= z, il s’ensuit, disons-nous, que

peut être considérée comme la racine de l’unité du degré quelconque Z.

Nous nous bornons à cet exposé succinct de la filiation des idées, et nous n'irons pas plus loin dans cet ordre de considérations. Le lecteur a compris que notre intention n’est pas d’entrer ici dans des détails de calcul; nous avons seulement cherché à expliquer la conception génératrice de la théorie des racines de l'unité, età juslifler cette idée que toute cette théorie a été créée en fait du moment où il a été dit en algèbre que — i multiplié par — i donne -f i. C'est une nouvelle preuve de l'importance qu’il y a de se bien pénétrer des principes, de comprendre tout ce qu’ils autorisent; mais en même temps, ajouterons-nous, de bien reconnaître aussi tout ce qu’ils excluent.

Plus tard, lorsque dans la seconde partie nous nous occuperons des considérations concrètes relatives aux fonctions trigo-

t)ES FORMES IMAGINAIRES.

nométriques, nous verrons combien toutes ces expressions, toutes ces formes se simplifient lorsque, débarrassées des entraves que la limitation des attributs du nombre leur impose, elles deviennent susceptibles d'étre la représentation de nouveaux attributs avec lesquels nous reconnaîtrons qu’elles se trouvent en parfaite concordance.

Mais concluons, quant à présent, et c’est là le but essentiel que nous avions en vue, qu’à moins de renoncer au principe que — I multiplié par — i estégal à -f i,ce quiseraitrenoncer à peu près à toute l’algèbre, il n’est pas possible que, même en abstrait, nous n’admettions pas l’une des conséquences les plus immédiates, les plus nécessaires de ce principe, à savoir que, pour chaque puissance, l’unité a autant de racines que l’indique le degré de cette puissance.

Dès lors, comme seconde conséquence non moins nécessaire que la première, nous serons obligés de reconnaître que, dans tous les calculs, il n'y aura pas d’élévation d’une expression à la puissance n dont le résultat ne corresponde à n expressions différentes les unes des autres; et ainsi se trouve de plus en plus justifié ce principe que, passé le premier degré, il n’est pas possible de préparer la solution d’une question sans introduire implicitement dans cette question des données autres que celles que nous avons pu avoir -spécialement en vue, données qui auront sans doute un certain rapport avec les premières, mais qui ne seront plus précisément celles-ci et qui, suivant les circonstances diverses dans lesquelles on pourra se trouver, seront diversement influencées par les racines de l’unité.

Enfin , comme ces dernières racines, sauf deux au plus pour chaciue degré, revêtent la forme imaginaire, on doit prévoir que cette forme, alors qu’elle ne serait pas commandée dans la solution par quelque impossibilité dans la demande, sera inévitablement introduite par les préparations algébriques que nous ferons subir aux données, soit [>our mettre le problème en équation, soit pour résoudre celle-ci : ce qui,