CHAPITRE V

de la précédente que parce que bc est négatif, ce qui correspond à prendre l’une ou l’autre des quantités 6 et c avec le signe — , et ce qui, d’ailleurs, ne change pas les signes de 6’ et de c’j'les quatre racines seront d’après cela

Si au lieu de b' et de c’, c'est 26c qu’on fait passer dans le premier membre, on aura

x'—2bc — 6’4-c*,

et une nouvelle élévation au carré conviendra également à cette équation et à cette autre

Or les racines de celles-ci doivent être telles que, sans changer le signe de abc, elles changent. celui des carrés; on satisfait à cette dernière condition en prenant ±b\‘ — i, ±c \/ — i à la place de àzb,±c\ et, pour conserver cet effet, tout en maintenant le signe actuel de bc, il faudra prendre des signes ext»rieurs contraires, de sorte que finalement les quatre racines seront

Voilà doncencore, pour la même équation primitive, et pour l’élévation à la même puissance, de nouveaux groupes de racines.

Examinons maintenant le cas où la valeur de x est décomposée en trois éléments a,b,c. Si d’abord on élève directement x = a-l-6-|-càla quatrième puissance, on formera une équation dont les quatre racines seront resi^ectivement les produits de a -f- 6 c par i, £, £*,

Si, en second lieu, on commence par former le carré de a; = a -f 6 -|- c, et qu’ensuite on fasse passer 0’ 6* -j- c* dans

le premier membre, on aura l’équation

X* — (a*-|-6»-|-c*) = 2(a&-}-ac-l-6c)

dont les racines seront dz(a + b + c). Cela posé, une nouvelle élévation au carré donnera une équation du quatrième degré.

qui conviendra non-seulement à la précédente, mais à cetle autre

Æ*— (a* +b- + c*j = — 2 {ab -f- ac -i- bc).

Quelle est la modification que le signe — du second membre introduit dans les deux racines primitives? Elle doit être telle, que, sans changer le signe de la somme des carrés, elle change celui de la somme des produits deux à deux.

La chose est très-facile quand on n’a qu’un binôme o-f-h. Dans ce cas, sans changer le signe de a* -f- 6*, on change celui de ab en écrivant que l’un des nombres o ou ô devient négatif. A l’inverse, sans changer le signe de ab , on change celui de a*-\-b^, en substituant à aetàô, soitay — i et — ôy — i, soit — ay — I etô y — i. Mais, lorsqu’il s’agit du trinôme, les choses ne paraissent pas devoir se passer aussi simplement, et, quant à présent, nous nous bornerons à faire remarquer que, dans ce cas, et dans tous les cas semblables, on a la ressource de la résülulion directe de l’équation qui donne

x= ± y^ a ’ -j- ô’ -j- c ' — 2 {ab + ac+ bc).

Au reste, dans la circonstance actuelle, l’algèbre échappe à cetle difficulté. En effet, l’équation filiale du 4” degré sera

— 2 ( 0 * -f- ô* -l-c’)a!* 4-(o® -|-6* |-c*)*=4(aô -t-ac-f-ôc)*,

et l’on remarquera qu’il lui manque, non-seulement le terme en x’, mais encore celui en x.

Cela [)Osé, l’éijuation générale du 4' degré dé[)Ouillée de son second terme étant

x‘ px' -\-qx-\-r=o,

on sait que sa réduite est

dont les racines sont respectivement les carrés de a, b, c.

Mais lorsque dans la proposée le terme en x n’existe pas, c’est-à-dire lorsque q est nul, la réduite se trouve privée du terme tout connu ; elle a donc une racine nulle, ce qui réduit le trinôme a -j- 6 -j- c a un binôme, et la difficulté précédente aura ainsi disparu.

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CHAPITBF, V.

Revenons maintenant à l’équation primitive, et mettons-la sous la forme a; — a = ft + c;sion l’élève au carré, celle opération faisant disparaître l’influence du signe de è -f c, les deux racines de l’équation obtenue seront a±(b + c]. Si, dans cette équation, on fait passer le terme — 2 ax dans le second membre et è’ -t-c’ dans le premier, elle prendra la forme

x’ a’ — è* — C != 2 ax 2 hc,

et elle continuera d’avoir les*inêmes racines.

En cet état, élevant de nouveau au carré, on obtiendra une équation du 4 ' degré, ayant les deux racines précédentes, et en outre celles de l’équation /

x’-j-a* — b* — c’= — 2ÜX — zbc,

identique à la précédente, sauf le changement de signe du second membre. Or, sans qu’il soit nécessaire d’insister à ce sujet, on reconnaîtra que ce cbangement correspond : i*à celui du signe de a, 2° à celui du signe d’ufle des quantités b et c, ce qui conduit finalement aux quatre valeurs suivantes

flzfc(è-t-c), — ait( 6 — c).

On reconnaît ici ta forme ordinaire de l’un des systèmes de racines qui résolvent l’équation du 4 " degré, privée de son second terme, celui dans lequel les signes extérieurs négatifs de a, 6 , c sont toujours en nombre pair.

Quant à l’autre système dans lequel, au contraire, les signes négatifs sont en nombre imi)air, il est aisé de se convaincre que les quatre expressions qui le composent constituent dans leur ensemble les racines d’une même équation.

En effet, nous venons de voir que les racines de l’équation

x*-l-a* — 6 * — c’ = 20x-{-2bc

sonta±(è-fc); si nous changeons leur signe, ce cbangement n’en introduira qu’un seul dans l’équation; le terme 20x deviendra — 20X, nous pouvons donc dire que l’équation

x*-j-o* — è’ — c‘= — 2ax + 2bc

a pour racines

Si maintenant on fait l’élévation au carré, l'équation résultante conviendra aux racines de la précédente ainsi qu’à celles de la suivante, dans laquelle le signe du second membre est changé :

x^+a^ — b* — c* = 2UX — 2bc.

Or ce changement correspond à celui du signe de a et à celui du signe de l’une quelconque des quantités b et c, d’où il suit que les quatre racines seront :

c’est le second système indiqué dans les élémenls.

Indépendamment de ces deux systèmes, il y en a un troisième qui a été formulé par Wronski, et dont la légitimité a été justifiée par Gergoiine dans ses Annales de Mathémaliques, (tome III, page 137 ). Voici la série d’opérations qui conduit à ce système.

En partant toujours de x~a=zb 4 - c et élevant au carré, on obtient une équation du second degré qui a évidemment pour racines o±( 6 -j-c) et qu’on peut mettre sous la forme

x’-j-a’ — 2bc = b* + c'+2Qx;

cela posé, si l’on élève de nouveau au carré, l’équation finale conviendra, non-seulement à la précédente, mais encore à ce qu’elle devient quand on change le signe du second membre, c’est-à-dire à

x' + a'—2bc = — 6 * — c’ — 20x;

or cette modification correspond : i» au changement du signe de O, ce qui n’altère pas a’; 2° à la substitution de dbè y — i et de ±c à è et à c, ce qui change le signe de leurs carrés, mais en ayant soin de prendre des signes extérieurs contraires, afin que la valeur primitive du terme — 2bc soit toujours conservée.

Les quatre racines seront donc :

o±( 6 -f-c), fl±(è — c) V — I,

tel est en effet le système Wronski.

Ce que ce système offre de'remarquable, c’est que tandis