CHAPITRE V

par des puissances convenables de £. Or ces deux résultats s’obtiennent simultanément, car si k et sont les exposants de £ qu’il faut employer poiu* que 6a* ne change pas, on devra avoir

et il faudra que

élevant au cube, il vient

ce qui se réduit à

Il est donc vrai que les mêmes valeurs de k et de k' satisfont simultanément aux deux conditions. Il ne reste donc plus qu’à combiner k et k' de telle manière que la somme A + 2 A' soit un multiple de 5; l’on trouve, d’après cela, que les cinq racines auront les formes suivantes :

Voilà donc encore un cas, mais un cas particulier de l’équation du 5* degré qui est résoluble. La particularité consiste ici : I® en ce que les termes en et a:’ manquent; 2 » en ce qu’il y aura une relation obligée entre les coefficients de x’ et de X et le terme tout connu.

Soit en effet l’équation :

x^ + px*-{-qx-^r=o.

En la comparant à la précédente, on aura :

si l’on multiplie le carré de la première condition par la seconde, il vient

Connaissant ainsi le produit et la somme de a* et de 6‘, on

obtiendra par les procédés ordinaires les valeurs suivantes de a et de 6

qui, substituées dans tes cinq types ci-dessus, donneront les valeurs des racines.

Quant à la relation entre p, q et r, il est très-facile de l’obtenir.

En effet, si l’on élève la première condition au cube et qu’un la divise par la seconde, on aura

puis, élevant la seconde au carré et divisant par la première

telle est la relation obligée entre les coefficients.

En conséquence, une équation du 5« degré ayant la forme

est résoluble, et ces cinq racines ont les valeurs que nous avons ci-dessus déterminées.

Nous pourrions présenter encore d'autres exemples de formation et de mutations de racines résultant des procédés propres à constituer une équation du 5' degré, et même quelques cas des éijuations de degrés supérieurs; mais nous devons mettre des limites à notre travail, et nous croyons en avoir ' assez dit pour justifier, dans ce que les équations ont d’accessible en matière de résolution algébrique, toutes les assertions qui ont été exprimées au début.