CHAPITRE VI

DE l’abstraction EN ALGÈBRE.

Sommaire. — I. Au point de vue purement abstrait, les études algébriques sembleraient ne devoir s’appliquer qu’à la pluralité. — II. Conception de la pluralité et du nombre. — 111. Conséqueuces de cette conception pour l’interprétation des résultats algébriques abstraits. — IV. L’idée de nombre ne peut pas et ne doit pas être modifiée par ces résultats; c’est sur les opérations qui y figurent que doivent être reportées toutes les difficultés. — V. Tnadmissiliililé de riiypolliesc des nombres dits isolés. — VI. Cette hypothèse, créée au sujet de certaines impossibilités algébriques, serait une véritable interdiction pour f intelligence des calculs — VU. Pourquoi n’a-t-on pas créé des nombres isolés pour toutes les sortes d’impossibilités algébriques? — VllI. 11 ne saurait répugner à notre raison de considérer les nombres comme jouissant de la propriété d’étre augmentatifs ou diminutifs; cette idée doit être substituée à celle du nombre positif ou négatif isolé. — IX. Conséquences qui en résultent pour l’addition et la soustraction des nopibrcs négatifs et positifs. — X. Examen et critique de quelques idées émises sur ces nombres. — XI. De la règle dite des signes pour la multiplication; comment œtte règle doit être entendue en théorie. — Xll. Analogie entre cette règle et celle de la multiplication des nombres fractionnaires. — XIII. L’algèbre abstraite serait très-limitée si elle ne s’occupait que des questions possibles pour le nombre, même en y comprenant ce qui concerne les attributs . augmentatifs et diminutifs. — XIV. Extension des services que peut rendre l’algèbre par la conception qu’à l’abstraction qui supprimerait les attributs des quantités on substitue celle qui se borne à en supprimer toute désignation spéciale; l’algèbre devient ainsi la science universelle des rapports pour la pluralité , la mesure et l’ordre des choses.

Il pourra sembler extraordinaire que, depuis les premières pages de cet écrit, nous ayons parlé ,«i souvent de la partie abstraite du calcul sans la définir,- et que ce soit au moment

CnAPITKE VI.

OÙ notre exposition est arrivée à sa fin que nous croyons nécessaire de nous expliquer catégoriquement sur ce qu’il faut entendre par l’abstraction en algèbre.

Si les idées que nouscbercbons à faire prévaloir étaient généralement acceptées, si elles étaient à l’abri de tonte controverse et acquises à la science sans réserve et sans contradiction, comme nous espérons qu’elles le deviendront un jour, il n’est pas douteux que, pour en présenter le développement sous la forme la plus rationnelle, ce qu’il conviendrait de faire consisterait à placer au début ce que nous mettons aujourd’hui à la fin, et à prendre nos conclusions pour prémisses.

Deux principaux motifs nous on t déterminé à agir autrement: d’abord notre intention n’a pas été de créer un ouvrage d’enseignement; nous adressant plutôt aux intelligences qui connaissent déjà la science qu’à celles qui veulent l’apprendre, la nécessité d’un ordre exclusivement méthodique était moins nécessaire ; le rôle de la critique, tjui est ici le nôtre, consiste plus encore à rechercher et à préparer les méthodes (ju’à les exposer; or, quand on a cherché, ce n’est qu’à la lin qu’on peut faire connaître dans quelle position nouvelle il est permis de se placer.

En second lieu, le sujet dont nous avions à nous occuper renfermant des obscurités, et notre but étant de les éclairer, il nous a semblé que nous devions prendre les choses telles qu’elles sont, et laisser chacun dans la situation d'esprit résultant de ses pensées, de ses études, de ses réflexions antérieures. Imposer dès le début notre manière de voir sur l’ensemble de la science eût été à peu près inutile pour ceux qui sont déjà disposés à penser comme nous, et susceptible d’éveiller chez les autres le sentiment des résistances préventives, écueil dangereux contre lequel viennent si souvent se heurter les idées nouvelles.

Nous avons donc pensé qu’en nous mettant en présence de toutes les convictions telles qu’elles peuvent s’ètre faites, ce n’était pas par une sorte de conti adiction vis-à-visd’elles,et non encore justifiée, que nous devions les aborder. 11 nous a paru que nous assurerions mieux la réussite de nos projets, en cherchant à produire d’abord ce sentiment de satisfaction que l’esprit éprouve toujours lorsque le voile de l’inconnu se sou-

DE l’aBSTBACTION EN ALGÈBRE.

lève, que le doute se dissipe, et que la clarté se fait sur les. choses incomprises.

Maintenant que celle tâche nous paraît accomplie, et que les diverses obscurités de détail ont été successivement expliquées, nous le croyons du moins, le moment est venu de formuler des conséquences plus générales, et de faire connaître rinfluencedes explications précédentes sur Tensemble de nos conceptions en ce qui concerne l’algèbre.

Bien que, dans ce qui a été dit jusqii’à présent, nous nous soyons presque exclusivement concentré dans le domaine abstrait, nous avons fait cependant quelques excursions dans le concret. C’était nécessaire, non-seulement pour donner une idée plus étendue de l’utilité de nos explications, mais encore pour nous placer dans la situation même qui nous est faite aujourd’hui par le mode d’enseignement usité, dans lequelsoat admises siimdlanémenlles considérations de l’une et de l'autre sorte ; il fallait bien se mettre, en [lartie du moins, à l’unisson de l’étal général des esprits.

Nous allons maintenant nous occuper exclusivement du domaine absli ait, explicpicr en quoi il consiste, dire quel est son objet, quelles sont ses fonctions. Mais, pour qu’il ne puisse y avoir aucune incertitude à cet égard, quelques explications préalables sont nécessaires.

Si l’objet d’une définition est de faire corfiprendre une idée, à l’aide d’autres idées déjà connues, il est évident (|u’en remontant la chaîne à laquelle une définition quelconque donnera lieu, nous arriverons à une idée primitive, à une idée mère de laquelle dépendront toutes celles qui l’ont précédée, mais qui sera elle-même indépendante, et par conséquent indéfinissable. Or cela n’aura rien de fâcheux, à la condition que nous aurons le sens intime de la conception de cctle idée; car, s’il en est ainsi, ma conviction sera formée sur elle, et il ne m’agrée pas moins d’avoir celte conviction par le témoignage de mes facultés mentales et physiques que par une définition qui peut être une erreur, ainsi que l’étude des sciences l’a prouvé maintes fois.