CHAPITRE

cinations qui, le trompant $ur la nature toute matérielle de l’obstacle, lui font croire que des fantômes, des êtres fantastiques, imaginaires viennent s'opposer à sa marche, et il se sent d'autant plus frappé d’impuissance qu’il est plus disposé à attribuer son empêchement d’avancer à des causes extra-naturelles.

Mais, quand on s’est engagé dans une impasse, il y a toujours moyen d’en sortir en revenant sur ses pas et se reportant au point de départ. J’ajoute que si ce retour est fait avec réflexion ; si, conservant toute sa présence d’esprit, on observe, on étudie avec soin tous les détails, toutes les circonstances locales du terrain sur lequel on doit se mouvoir, il est possible qu’on parvienne à comprendre pourquoi on a fait fausse route, pourquoi on s’est trouvé arrêté, comment il faut s’y prendre, dans quelle nouvelle direction on doit s’avancer pour échapper aux difûcultés qui se sont présentées.

Ce travail de retour, ces études rétrospectives sur les causes en vertu desquelles la forme imaginaire se présente et s’impose dans nos calculs nous ont conduit à cette conséquence, qu’il ne faut pas essayer de voir dans l’imaginaire, en tant du moins qu’on ne sort pas du domaine abstrait, une quantité, un nombre, une convention, une qualité, mais simplement un indice d’opérations, opérations impossibles sans doute, mais dérivées de l’algèbre, algébriquement formulées et par conséquent subordonnées, dans leur manifestation première comme dans leurs effets consécutifs, à des règles qui ne peuvent être que des dépendances de la science même.

D’un autre côté, l’algèbre, qui raisonne toujours fort bien, ne peut pas faire naître une impossibilité, là où nous n’en avons pas mise une nous-même. 11 n’est pas admissible que l’algèbre dénoue par l’impossible ce qui est praticable.

simple bon sens nous conduit donc à reconnaître que la manifestation de l’imaginaire ne saurait être autre chose que la conséquence d’une contradiction explicite ou implicite introduite soit dans les données d’une question, soit dans le cours de nos raisonnements. Ne faut-il pas en effet que cette science,

pour être à la fois utile et logiquç, possède la double propriété et de nous donner ce que nous cherclions quand cela se peut, et de nous avertir que c’est impossible quand cela ne se peut pas? Il serait, en vérité, fort difficile de concevoir, si elle était déshéritée de ce second (iriviléj^e, comment elle pourrait faire un usage légitime du premier ; car si elle ne pouvait jamais dire non, comment donc s’exprimerait-elle quand il lui serait interdit de dire oui? Or, si nous lions ensemble des données par des conditions contradictoires à ce que permet la science des rapports, n’est-il pas naturel, n’est-il pas nécessaire que celte science réponde par l’impossible à une telle contradiction?

Allant plus loin, nous dirons qu’il répugnerait au bon sens d’admettre que celte impossibilité d'une part, celle contradiction d’autre part, ne fussent pas exactement équivalentes: car, si l’algèbre exécute des opérations, ce n’est pas elle qui en prescrit la nature et en fixe le choix ; à cet égard elle est sans initiative comme sans responsabilité; elle ne peut donc pas faire autre chose, dans les calculs que nous lui demandons d’exécuter, que de trans|)orler à la fiu ce qu’elle a pris au commencement, sous les diverses formes sans doute que ses moyens autorisent; mais elle ne serait pas l’algèhre, et elle nous induirait incessamment en erreur, si elle changeait d’ellemême les rap|)orts essentiels par lesquels il nous a plu de lier les choses qui lui sont confiées.

Allant plus loin encore, celle idée d’équivalence nous conduira à déduire de la forme même de l’impossibilité finale celle de la contradiction préexistante; et alors nous trouverons dans l’imaginaire non-seulement l’avis que la question est impossible dans les termes où on l'a pro|iosée,ou avec les moyens employés pour la résoudre, mais encore, par la forme même de cette imaginaire, l’indication précise de l’espèce de contradiction que nous aurons introduite, soit au début, soit dans le cours de nos recherches. Ne sont-ce pas là de belles et d’utiles révélations?

En résumé, de même que l’algèbre nous apprend, dans l’ordre des choses possibles, ce qu’il faut faire sur les données

CBAPITHE I.

pour obtenir un résultat désiré, de même par l’imaginaire elle nous avertit que nous nous sommes placés dans l’ordre des choses impossibles, et, de plus, par la forme même de cette imaginaire, elle nous dévoile le comment et le pourquoi de nos contradictions.

La première partie de ce programme nous est assez bien connue, mais jusqu’à présent, ou nous ne nous sommes pas occupés de la seconde, ou nous ne l’avons entrevue qu’à travers d’épais nuages.

Envisagée à ce point de vue, l’étude delà forme imaginaire ne peut que j)résenter le plus grand intérêt; elle sort du vague dans lequel elle est restée jusqu’à ce jour. L’idée se rationalise par /les définitions vraiment fnatliématiques, et en SC rationalisant dans son principe elle vient mettre entre nos mains l’élément de calcul indicateur et régulateur des méprises algébriques dans lesquelles nous serons tombés toutes les fois que nous aurons demandé à la science des rapports la justification de rapports impossibles avec la seule idée du nombre.

En dehors de ces considérations, dont l’essence est purement algébrique et abstraite, et qui ne s’appuient nullement sur les qualités diverses des êtres concrets dont nous pouvons nous proposer de faire l’étude algébrique, il y aura à examiner plus tard si, dans certains cas et pour quelques quantités, telle opération, impossible en abstrait, ne peut pas, à cause de la nature môme de ces quantités mieux douées que ne l’est le nombre, être conçue et praticiuée pour elles, ce qui donnerait alors à l’imaginaire une forme saisissable, une représentation et une existence physiques qui contribueraient puissamment à dissiper toutes les incertitudes.

Cette considération, tout extraordinaire qu’elle peut paraître au premier abord, n’a rien cependant que de rationnel, et nous allons en faire comprendre la portée par un exemple fort simple.

Au point de vue arithmétique, l’équation 2q’=p*, dans laquelle p et q sont des nombres entiers, est irréalisable,

par le motif que les carrés sonl nécessairement des multiples de 2 d’un degré pair. 11 n’est donc pas possible k l’arithmétique

de réaliser sous la forme finie -, et de nous conduire au-

trement que par approximation à cette valeur. Or, ce que l’arithmétique ne peut pas faire, les longueurs le pratiquent, parce qu’elles jouissent du principe de la continuité dont l’arilh'métique est jirivée, et, à l’aide d’une ojiération fort simple, avec la longueur adoptée pour l’unité, nous arrivons sur le point même où doit se terminer la longueur qui, par rapport à cette unité, est le représentant de Voilà donc un exemple d’une opération impraticable en abstrait sous forme finie, et que des propriétés inhérentes à certaioes quantités permettent de réaliser physiquement sous cette forme.

D’ajirès cela, ne sommes-nous pas en droitde nous demander si, pour d’autres opérations irréalisables dans le domaine de l’abstraction, pour \j — i par exemple, il n’y aurait pas tels êtres concrets jouissant de la propriété de reproduire, par certaines opérations que leur nature autorise, l’équivalent de celles qui sont figurées pary/^",.

Or, cette étude nous l’avons faite il y a bientôt trente ans ', et nous sommes parvenu à ce résultat qu’en géométrie l’opération (jui consiste à faire un angle droit est l’équivalent de l’impossibilité que représente. Lagrange, de son côté, n’a-t-il pas prouvé que les empêchements imaginaires qui constituent en abstrait l’impossibilité d’obtenir les valeurs numériques des racines de l'équation du troisième degré, dans le cas appelé irréductible, revêtent une forme possible par les considérations concrètes, et se dénouent en réel en prenant le cosinus du tiers d’un certain angle dont la valeur est déterminée par les données de la question?

Mais, dira-t-on, comment et pourquoi tout cela peut-il se faire? Tout simplement, répondrons-nous, parce que la ligne droite, ou, si l’on veut, la géométrie, possède deux propriétés qui n’ap|)artiennent pas au nombre: la continuité et la direction ; en vertu de la première elle peut pratiquer l’incommensurable, en vertu de la seconde elle pratique et réalise l’opé-

F.tudes philosophir/ues sur la sfirnrf du calcul. Paris, 18tl.