CHAPITRE VI
un ensemble de moyens, d’opéralions exécutables sur le nombre; dans le second cas, par un ensemble d’opérations inexécutables parce qu’elles seront incompatibles avec la nature du nombre.
Il n’y a d’ailleurs rien que de naturel dans cette manière de comprendre les choses, c’est à dire dans celte association ce tante et inévitable du nombre et des opérations ; car des brcs seuls pas plus que des ojjéralions seules ne sanraien ■ y* ' tituer une question. Avec des nombres seuls, les moyens ^ n’existeraient pas; avec des moyens seuls, il n’y aura ‘ plus d’objet que de forme possibles pour la demande et '■ > îla réponse.
Si donc l’algèbre est la science qui a pour objet de non prendre ce qu’il faut faire pour modifier en plus ou en ino et sous certaines conditions, un état primitif de pluralité , primé par un ou plusieurs nombres, il faut, d’une part, < nous lui fassions connaître cet étal et ces conditions ; d’at ' part, qu’à son tour elle nous indique ceux qui pourront n ■■ permettre d’obtenir le but désiré; et il sera indispeiisa qu’on le remarque bien, que ces nouvelles conditions e. [ nouvel état soient en parfaite équivalence avec les premit ' sans quoi il est évident que l’algèbre n’aurait pas satisfait à question proposée.
Celte équivalence, aussi nécessaire qu’évidente, entre l’expression algébrique primilivè qui représente la demande e’ celle (|ui forme la conclusion est d’ailleurs la clef qui ouvre 1 > réponse à toutes les difficultés. Et d’abord, comme les non'-, bres que nous plaçons dans la première sont parfaitemc ii compréhensibles par eux-mêmes, qu’ils sont les représcntr ç d’un certain état de pluralité, et qu’il n’est pas un seul de " • états dont nous n’ayons la parfaite intelligence, il s’en suit " ^ nous devrons nous abstenir de faire rejaillir sur l’idée de ne bre les obscurités qui pourront se présenter dans la répoi Mais ce dont nous sommes beaucoup moins certains, c’est d socier toujours les nombres très-compréhensibles dont ' f ’ * faisons usage avec des conditions qui ne répugnent pas à m nature. A cet égard nous pouvons être entraînés à de gra Vc;,;». méprises, et il peut y avoir ainsi dans les conditions écrit la demande, et dans les opérations algébriques qui sont >
DE l’abstraction EN ALGÈBRE.
présentation de ces conditions, des impossibilités inaperçues qui se succéderont sous diverses formes d’après les raisonnements employés pour arriver à la solution, et qui donneront iul'aillitdement à celle-ci l’empreinte opérative équivalente et visible de l’opération initiale impossible et dissimulée.
Voilà, selon nous, tout ce qu’il est permis de voir dans une réponse algébrique ; rien ne nous autorise à modifier l’idée que nous devons avoir du nombre, et à dire, par exemple, que pour se rendre compte de la nature des difficultés qui peuvent résulter de la division, il faudrait réagir sur l’idée de nombre, la contrarier, et avoir l’intelligence du nombre abstrait fractionnaire. Le nombre abstrait sera toujours le nombre à unité indivisible, et il ne saurait être permis de se demander s’il peut être autre chose. Car pour le concevoir avec ce singulier attribut qu’on appelle fractionnaire, il faudrait qu’on nous apprît ce que peut être une partie de ce que représente son unilé, un fragment de sensation, c’est-à-dire un fragment de ce qui est au moins un ou de ce qui n’est pas.
Ce n’est que lorsque le nombre se trouve par exception composé d’un ensemble de groupes contenant chacun une même collection d’unités que, revêtant alors le caractère d’être un multiple -exact, on trouve en lui, quels que soient tes objets dont il représente la pluralité, le principe d’une commune mesure entre ses parties, ce qui rend possible l’idée de la division. Mais lorsque celte propriété fait défaut, il n’y a plus moyen de rattacher l’idée de division à cette collection qu’en se reportant aux objets mêmes, et c’est ce qu’on fait en concret, mais alors ce sont les objets, ce n’est pas le nombre qu’on divise.
Il n’y a donc pas de nombres abstraits fractionnaires, négatifs, radicaux, imaginaires, et mon esprit se refuse même à admettre que la question puisse être posée en ces termes, tant de pareilles adjonctions et identifications avec le nombre sont antipathiques à la définition de ce dernier. Mais il pourra y avoir des soustractions, des divisions, des extractions de racines impossibles, et comme toutes les réponses algébriques sont un
