CHAPITRE VI

d’une nature particulière, dits isolés, et qu’en cet état il est impossible de comprendre, on n’en a pas agi de même pour d|autrescas d’impossibilité et pour les opérations ([ui s’y rapportent. Les nombres qu’on prétend devoir être considérés isolément ne sont guère que ceux qui résultent de leur association avec l’opération soustractive, ou l’opération imaginaire; quant à ceux qui répondent à leur association, soit avec une division, soit avec une extraction de racines impossibles, on se tient pour trèssatisfait à leur égard, on n’a pas proclamé qu’ils étaient incompréhensibles, on n’anullement songé à leur infliger le stigmate de l’isolement. D’où vient cette distinction? On aurait de la peine à se l’expliquer en théorie, et on ne comprend pas en vertu de quel privilège, on n’agirait pas de la même manière pour des circonstances qui, les unes et les autres, sont des indices d’impossibilité. Pourquoi voudrait-on faire un seul tout du nombre avec l’attribut négatif, et n’en ferait-on pas un du nombre avec l’attribut fractionnaire? Le nombre abstrait, nécessairement entier, serait-il plus facile à comprendre lorsqu’on le force à ne pas être entier, que lorsqu’on lui attribue le signe de la soustraction? C’est bien certainement, et nous nous en convaincrons tout à l’heure, le contraire qui a lieu. Singulières questions auxquelles il serait difficile de répondre si l’on voulait se conflnerdans le champ de la théorie! Mais parce qu’en fait, dans l’algèbre abstraite où l’on n’opère que sur le nombre à unité indivisible, le choix des applications est fort limité, et que d’ailleurs la science ne s’est pas formée tout d’une pièce, et suivant la marche rationnelle qui pourra être donnée un jour à son exposition, il en est résulté que la séparation de l'abstrait et du concret n’a jamais été faite, que les deux points de vue ont été confondus, et qu’insensiblement on a été entraîné, même sans s’en apercevoir, à attribuer au nombre, lorsqu’il est abstrait, les facilités de, réalisation qui se rencontrent dans les considérations concrètes. Ür c’est en abondance que dans ces dernières vient figurer l’attribut de la continuilé qui nous permet de considérer les quantités qui en jouissent comme divisibles en telles et tant de parties qu’on voudra. De là, comme nous l’expliquerons dans la seconde partie, la possibilité d’eü'ectuer sur ces quantités toutes les divisions et toutes les extractions de racines. Les quantités ainsi

liO . DE l’abstraction EN ALGÈBRE.

douées se rencontrent si fréquemment dans les questions que nous avons à traiter (les longueurs, les surfaces, les volumes, les forces, les vitesses, le temps sont dans ce cas), et nous avons si souvent réalisé avec elles toutes sortes de divisions et d’extractions de racines, que nous nous sommes habitué à ne plus considérer ces opérations comme des empêchements, si ce n’est dans de très-rares circonstances. Telle a été la réaction nécessaire, quoique irréfléchie et inconsciente, du concret sur l’abstrait.

11 n’en a pas été de même à beaucoup près du négatif et de l’imaginaire. L’attribut qui leur correspond, outre qu’il est plus rare à trouver dans les quantités, a été reconnu et constaté beaucoup plus tard que celui de la continuité. Il y a même aujourd’hui un assez grand nombre d’esprits qui sont encore loin d’être familiarisés avec cet ordre de considérations; et cependant, chose fort digne de remarque, nous ferons voir bientôt que, tout au moins, nous avions l’attribut négatif sous la main avec le nombre abstrait. L’usage a donc manqué dans cette circonstance, la réaction- du concret sur l’abstrait a été nulle sur ce point, et de là les doutes, les obscurités, le manque de compréhension , qui ont persisté et ont conduit à l’inconcevable conception des nombres ou quantités, dits isolés.

Qu’on ne s’imagine pas d’ailleurs qu’au sujet de cette incroyable idée de l’isolement nous nous laissons aller à l’exagération, et que nous cherchons à assombrir à plaisir les teintes déjà trop sombres du tableau que nous en faisons.

Nous lisons dans un ouvrage d’ailleurs très-estimé et qui mérite de l’être à beaucoup d’égards:

« 11 ne faut pas voir, dit l’auteur, dans les moyens commodes « de renfermer toutes les formules dans une seule, de vérita- « blés opérations .sur des quantités négatives isolées ; opéra- 0 tiens dont on a souvent démontré les règles, soit en les « rattachant vicieusement a celles des polynômes, soit en <t cherchant à donner une existence à ces êtres fantastiques. » Certes, si nous admettions l’étrange système de l’isolement, nous serions de l'avis de ceux qui disent :

« 'foute démonstration sur les quantités négatives isolées ne a peut être qu’une illusion, puisqu’il n’y a aucun sens àatlacher

CHAPITKE VI. • m

« à des opérations arithméliques sur des choses qui ne sont a pas des nombres et n’ont aucune existence réelle, b N on, sans doute, ce ne sont pa^ des nombres seulement, mais, à moins de ne pas savoir lire, il faudra bien confesser à coup sûr que ce sont des nombres et des opérations. Dès lors, les opérations de rarillimétique exécutées sur ces sortes de choses sont certainement ce qu’il y a de plus usuel et de plus compréhensible dans la science. L’essentiel sera de les interpréter sainement et de les bien prendre pour ce qu’elles sont. Quant à l’existence, comment la leur refuser alors qu’à tout instant l’algèbre donne naissance à des expressions de la forme — o’Orqu’elles existent comme conséiiuence des calculs ou par l’effet de notre volonté, elles n’en sont pas moins la représentation d’une association de deux choses qui, si l’on n’en veut pas faire un tout isolé, si on les considère séparément l’une de l’autre, sont parfaitement définies, parfaitement comprises dans leurs fonctions respectives, sur lesquelles, par conséquent, les opérations de l’algèbre pourront avoir un sens et produiront certains ell’ets que le raisonnement nous fera découvrir.

xMais ce qui nous étonne, c’est que ceux qui professent une telle opinion puissent se livrer avec quelque intérêt aux recherches algébriiiues, car nous nous demandons quelle idée il leur est possible de se faire d’une algèbre dont l’objectif n’est pas le nombre et dont les règles, à coup sûr les plus importantes, ne sont démontrées qu’à l’état d'illusion. 11 faut que la foi soit bien robuste chez ceux qui n’hésitent pas à faire de la voltige sur une corde qui n’en est pas une, qui n’aurait même aucune existence réelle, et dont les points d’appui seraient des illusions.

Mais passons, et constatons que le plus clair de tout ceci est, au point de vue du fait tout au moins, la condamnation la plus péremptoire du fiameux principe derisolement. Que penser en effet d’un obstacle qui n’empêche pas même les esprits les plus ombrageux d’aller en avant ?

Quant à nous, nous n’hésitons pas à le dire, le seul énoncé de ce principe est un monstrueux abus de la parole, et l’idée de le prendre en considération est un abus non moins monstrueux de la pensée. .

, Or retournons l’un et l’autre, et affirmons : quant aux mots.

DE l’abstraction EN ALGÈBRE.

que là où l’on dit isolement il faut dire association; quant à la pensée, que là où l’on veut procéder par la voie de la combinaison qui unifie, il faut au contraire procéder par la voie de la distinction qui dualisc.

Sans doute, si l’on ne s’en rapporte qu’aux apparences, lorsqu’on s’est trouvé en présence d’un résultat de la forme — a, il y avait deux parfis à prendre : ou bien unifier la réponse et considérer, comme on l’a fait, (—a) isolément ; ou bien la dualiser et considérer — a comme l’indication qu’il faudra faire usage de a par voie de soustraction. En principe et en théorie, par suite de cei’biins entraînements que nous allons expliquer, c’est la première résolution qu’on a adoptée ; mais, en fait et dans la pratique, c'est toujours en vertu de la seconde qu’on agit, tout en croyant cependant respecter le principe: situation qui s’expliquerait difficilement si, d’une part, on ne connaissait la puissance du préjugé, du parti pris, de la simple habitude, si l’on veut ; si, d’autre part, on ne savait que, quoi qu’on fasse, la vérité finit toujours par s’imposer.

Cependant, si l’on consulte l’algèbre, si l’on se rend compte de son mécanisme et de sa marche lorsqu’elle est appelée à résoudre une question, on est toujours conduit, ainsi que cela résulte de ce (pic nous avons développé à ce sujet, à reconnaître qu’à un ensemble de nombres et d’opérations elle ne peut faire autre chose que de substituer un ensemble équivalent, et que par conséquent ce sont toujours ces deux choses, nombres et opérations, qu’il faut voir dans ses réponses, chacune avec scs propriétés et ses fonctions spéciales.

A moins donc qu’il ne fût bien démontré qu’on a introduit soit dans les prémisses, soit dans le cours des raisonnements, quelque chose qui fût semblable à cet être com|)lexe qu’on appelle nombre isolé , c’est-à-dire quelque chose qu’on affirme n’avoir pas d’existence, il n’est pas possible que l’algèbre nous donne à la fin des calculs ce qui ne s’y trouve nulle part. Quant aux nombres et aux opérations considérés séparément, c’est bien différent, car c’est nous qui introduisons les premiers, et les secondes sont les moyens mêmes de l’algèbre. Tel est donc le véritable état sous lequel ils figurent et sous lequel nous devons les voir dans tout calcul algébrique.

CHAPITBE VI.

Toutefois, lorsque des croyances deviennent aussi générales que celles que nous combattons en ce moment, nous devons voir dans ce fait l’indice d’une cause qui a exercé une grande influence sur les esprits, et, précisément parce que celte cause a conduit à l'erreur, il y a intérêt à la connaître.

Nous avons déjà expliqué que la science ne s’étant pas faite avec la régularité de la méthode suivant laquelle il convient de la comprendre et de l'exposer, le concret s’est souvent confondu avec rabslrait. Nous avons ajouté que l’attribut de continuité, dont jouissent tant de quantités, ayant rendu possibles, dans le plus grand nombre de cas, soit des divisions soit des extractions de racines impossibles pour le nombre abstrait, nous nous sommes de plus en plus familiarisés avec les formes fractionnaires et avec les formes radicales, réductibles ellesmêmes à l’état fractionnaire, sinon fini, du moins approché, à tel point que nous n’avons plus considéré ces formes que comme des empêchements tout à fait accidentels, et que, si l’idée de leur appliquer le principe de l’isolement s’est présentée momentanément à l’esprit, elle a dû être promptement abandonnée, sous l’influence d’une pratique qui les voyait se réaliser presque toujours.

Il est résulté de là, grâce à ce principe de la continuité, que toutes les opérations pouvant s’exécuter et nous condui.sant constamment soit à un nombre entier, soit à un nombre fractionnaire, nous nous sommes de plus en plus imbus de celle idée que la réponse à une question devait toujours être un nombre de l’une ou de l’autre espèce et ne devait pas être autre chose. La possibilité des opérations étant ainsi un état normal, et la trace apparente de celles ci s’effaçant successivement par le fait de leur exécution jusqu’à s’évanouir complètement dans le résultat final, l’importance des considérations théoriques qui s’y rattachent s’est amoindrie, a fini par disparaître, et nous en sommes arrivés à ce point de ne vouloir plus admettre que le nombre, et toujours le nombre, comme réponse à une question. Aussi, grand a été l’embarras, lorsqu’avec le nombre se sont présentés des signes d’opérations que le principe de continuité ne suffisait plus à expliquer, et que

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l’absence ou l’ignorance de tout attribut qui leur fût équivalent dans les quantités a naturellement laissés persistants. C’est alors qu’accoutumés à ne voir que le nombre et ne voulant voir que lui dans les solutions, le contredit résultant de formes autres que le nombre est devenu la cause des plus inextricables difficultés, et qu’on en est venu à se demander quelle espèce de nombre pouvaient être ( — a), (a V^); formant ainsi un tout collectif de chacune de ces expressions, et créant des êtres indéfinissables et incompris auxquels on a dû refuser l’existence après la leur avoir mentalement donnée.

Telle est la filière par laquelle, de confusions en confusions, on est ari’ivé à ces choses qu’il nous est en vérité impossible de qualifier, sur lesquelles, on le déclare, les opérations de calculs n’ont aucun sens, qui sont le néant, qui sont des fantômes, etc., etc. , et dont cependant on se sert tous les jours.

Tâchons maintenant de mettre un peu d’ordre dans cette étrange confusion d’idées.

Le nombre, nous l’avons dit, est le représentant des divers états dans lesquels peut se trouver la pluralité, et nous avons fait remarquer que son unité est indivisible. Mais si cet attribut de la division est antipathique à la conception du nombre, il n’en est pas de même d’autres attributs ou fonctions qui peuvent lui être dévolus. Ainsi, étant donné un certain nombre d’unités a, il ne répugne nullement à ma raison, il peut lui agréer au contraire, que ces unités soient considérées comme jouissant tantôt de la faculté d’être augmentatives, tantôt de celle d’être diminutives. On conçoit môme que c’est là un ordre de considérations qui, dans la pratique, pourra avoir son utilité. Or, pour ne pas confondre le mode d’action des unes avec le mode d'action des autres, il sera nécessaire de les distinguer par des signes particuliers. Si Ton convenait à cet effet d’adopter l’indice a pour le premier mode, etTindice ^ pour le second, la représentation se ferait par dans un cas, par 05 dans l’autre.

Cela posé, si Ton écriten regard les trois formesa, a,, la

CtlAPITItE VI.

première voudra dire qu’on considère a au point de vqp unique de la pluralité qu’il représente; les secondes qu’à ce premier point de vue vient s’en joindre un deuxième qui concernera les fonctions qu’on entend attribuer à ces pluralités, savoir : que dans a les unités a seront augmentatives, dans Oj elles seront diminutives.

Ce premier aperçu suffit pour faire comprendre combien serait fausse l’idée que le nombre est essentiellement augmentatif. La seule chose essentielle qui appartienne à la conception du nombre, c’est qu’il doit être toujours entier; quant au reste, comme ce sont des fonctions qu’on veut faire remplir au nombre, il n’y a évidemment aucun motif d’attribuer une prépondérance à l’une sur l’autre; dans tous les cas, cette prépondérance, si elle devait exister, affecterait uniquement l’idée de fonclion et ne saurait en rien intércsserla nature du nombre ; pas plus, par exemple, que les fonctions que remplit l’eau quand elle entre dans un vase ou qu’elle en sort n’intéressent la constitution intime de ce liquide.

Or, il est évident que l’objet de l’opération arithmétique appelée addilion étant de produire l’augmentation, et celui de la soustraction étant de produire la diminution, il y a non-seulement analogie, mais équivalence complète entre ces deux opérations et les deux attribuls que nous considérons ici. Nous sommes en conséquence autorisé à dire que la fonclion augmentative doit être représentée par le signe de l’addition qui viendra se substituer à l’indice a, que la fonction dirninutive le sera par celui de la soustraction qui, à son tour, viendra se substituer à l’indice et la réciproque sera vraie, puisque, nous le répétons, les choses sont tellement définies qu’il y a équivalence entre les effets produits, d’un côté, par les signes d’opération, de l’autre, par les fonctions que les nombies ont à remplir.