DE LA REPUÉSENTATIOS DES QUANTITÉS

De l’ensemble des explications précédentes résulte ce point , capital, et qu’il ne faut jamais perdre de vue, que la représentation d’une quantité est esscnliellcnient complexe; qu’elle se compose de deux choses très-distinctes, savoir ; 1° une quantité de la même espèce qu’elle, destinée à faire connaître de quoi on s’occupe et qu’on peut appeler unité concrète, unité module, ou simplement module; 2° un nombre indiquant combien de fois doit être répété le module pour reproduire exactement la quantité.

Nous savons déjà cc qu’est le nombre, et l’algèbre nous a fait connaître les divers rapports possibles ou impossibles qui le concernent. Nous savons aussi ce qu’est le module, puisque les propriétés fondamentales de l’espèce à lacpielle il appartient ont été nécessairement étudiées lorsque nous avons voulu reconnaître si celte espèce peut cire soumise aux spéculations de l’algèbre.

Au point de vue de l’écriture, il n’y a aucun inconvénient, il y a même une utile simplification, à supprimer l’indication du module dans les formules; mais, au point de vue de la conception, il n’en saurait être ainsi : d’abord parce que le raisonnement nous montre que les choses ne peuvent pas se passer autrement, et, en second lieu, parce qu’autre chose est de faire une opération sur le nombre, ou de faire la même opération sur une quantité. Si, lorsqu’on se borne à représenter les tiuantités par le nombre, ainsi que nous venons de l’expliquer, on perdait de vue la considération essentielle qu’un module doit toujours être mentalement accolé à ce nombre, les possibilités et impossibilités d’opérer sur les quantités seraient exactement les mêmes que celles d’opérer sur le nombre, et dès lors les résultats de l’algèbre seraient identiques pour toutes les espèces. Mais si, dans un résultat, on restitue à côté du nombre, et quoiqu’elle n’y figure pas ostensiblement, la considération du module, il y aura lieu alors de s’enquérir si les opérations indiquées dans le résultat, qui doivent s’appliquer nécessairement à la quantité, (luoiqu’impraticables sur le nombre considéré isolément qui figure dans la représentation de celte quantité, mais qui n’est qu’une partie, ne sont pas susceptibles

aiAI'lTItE VII.

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de s’appliquer sur le nombre module qui en est la représentation complète, c’est-à-dire, puisque le nombre est déjà éliminé, sur le module qui est la seconde partie de cette représentation. Or, s’adresser celte (|ueslion, c’est déjà, je n’iiésitc pas à le dire, se donner les moyens de mettre à néant toutes les obscurités de la science, tout en laissant à l’idée de nombre la simplicité primitive de sa conception, c’est-à-dire l’indivisibilité de son unité. En outre, trouveràceltequeslion une réponse convenable, c’est faire entrer par une porte largement ouverte les rapports algébriques quels qu'ils soient dans le domaine des réalisations.

La remarquable fécondité de cette idée n’enlève rien à la simplicité de sa conception et les plus vulgaires exemples sont aptes à en rendre évidente toute l’importance. C’est ce que nous allons voir : en tant qu’il ne s’agit (jue du nombre abstrait, i3 ne sera jamais divisible par 5; pour que l’opération de la division par 5 soit jiossible, il faut que le nombre à diviser soit constitué de manière à ce qu’il se trouve naturellement formé par une collection de groupes contenant chacun 5 unités; le nombre de cescoltectionssera évidemmcnlla cinquième partie du nombre primitif. L’esiirit conçoit cependant qu’il y aurait un autre moyen de satisfaire à cette question; en effet, i3 étant la collection générale de i3 unités, s’il était possible de prendre la cinquième partie d’une de ces unités, en accolant à i3 celle cinquième partie j’aurais évidemment réalisé l’opération demandée. Mais il s’agit ici de l’unité numérique et nous savons que le caractère essentiel de celte unité est d’être indivisible. Or si i3, au lieu de représenter le nombre abstrait, représente une quantité, cl s'il arrive que celte quantité jouisse, en vertu de ses propriétés naturelles, du privilège de pouvoir être indéfiniment divisible, il en sera de meme en particulier pour l’unité module dont il aura pu me convenir de faire choix. Restituant alors à 1 3 cette unité module pour représenter la (luanlilé en question, je remarquerai que ce que je ne pouvais pas faire pour runilé numérique qui ostindivisible, je pourrai le pratiquer parfaitement sur runilé module et que j'aurai par ce moyen, non pgs le cinquième du nombre i3, mais le cinquième de la quantité dont i3 représente la grandeur, parce qu’alors i3 ne s’appliquera plus à l’unité module primitive, mais à une unité cinq fois plus jvetite.

1 i(i DE LA IIEPRÉSENTATIOS DES yiANllTÉS.

Or il y a un très-grand nombre de quantités qui jouissent de la propriété de pouvoir être divisées en tant de parties qu’on voudra, et nous verrons dans les chapitres suivants que ce sont celles qui jouissent du principe de la continuité. Mais, sans nous arrêter en ce moment à l’examen des lois naturelles qui conduisent notre esprit à la conception de la divisibilité indéfinie des choses, il nous suffit d’invoquer la possibilité prali(|ue de celte division pour faire bien comprendre que, si certaines opérations impraticables sur un nombre sont cependant praticables sur la quantité que ce nombre exprime, c’est parce que, dans la représentation de cette quantité, il faut toujours voir à côté de ce nombre une unité module, de même espèce qu’elle, et qu’alors la réalisation des opérations à exécuter surlaquanlité dépendra non-seulement decellesquenous pourrons accidentellement faire sur le nombre, mais encore de celles que lanature du module nous donnera les moyens de pratiquer sur lui.

De là ressort encore une fois celte conséquence importante que, dans l'étude de l’algèbre abstraite, nous ne devons pas nous arrêter dans nos recherches lorscjue nous nous trouvons en présence de rapports ou d’opérations impossibles pour le nombre, car l’exemple ci-dessus nous montre que ce qui est irréalisable pour lui peut ne pas l’être pour la quantité; de sorte que ces rapports qui, pour des conclusions purement abstraites, correspondent à des impossibilités équivalentes dans des demandes qui concerneraient le nombre abstrait, peuvent entrer dans la phase de réalisation lorsque les mêmes demandes s’appliquent à la quantité.

On voit donc que borner les recherches abstraites à la seule considération des rapports possibles pour le nombre serait se priver des moyens de procéder à l’étude complète des quantités, puisque celles-ci, mieux douées que lui par la nature, ont des propriétés de réalisation beaucoup plus complètes que n’en a le nombre, et que ces propriétés pourront être utilisées dans la représentation des (luantités à l’aide du module qui fait partie intégrante de celte représentation.

En résumé, nous sommes en droit d’affirmer que, dans l’élude algébrique dos quantités, l’impossibilité d’un rapport en abstrait cessera d’en être une toutes les fois que les opérations