CHAPITRE VI II

DE l’aTTRIBIT de CONTINUITÉ.

Sommaire. — 1. Des attribiits des quantités et de leur étude. — II. Définitiun de la continuité. — III. Comment on doit comprendre la contimiilu en algèbre. — IV. Toutes les espèces continues sont susceptibles d'être algébriqiieinent étudiées. — V. Du pa.'jsage de la pluralité à la continuité, accord des lois naturelles avec nos conceptions. — VI. Les quantités continues sont susceptibles d’être indélinimeut divisées. — Vil. Extension de l'idée de nombre aux expressions fraclioniiaires . — VIII De l’addition et de la soustraction des nombres fractionnaires. — IX. De la multiplication et de Indivision des fractions. -• X. Du rapport fraciionnaire. — XL Des expressions puissancielles et radicales. — XII. De la reprcsentation algébrique des quantités irrationnelles; celle représentation exige une série infinie de divisions. — XllI. Des opérations de calcul sur les expressions irrationnelles. — XIV. L’iiifmiment petitesse de ruiiité module conduit à la considération des limites de la continuité. Pour les longueurs on airive à la conception que le point géométrique est cette limite. — .XV. Sous quelles conditions on conçoit qu’on passe de la longueur au point et réciproquement; CCS passages. ne peuvent se faire sans la considération de l’infini. — XVI. Point de départ de l’introduction du calcul infinitésimal dans la science. — XVII. Observations et détails justificatifs. — XVIII . Le calcul infinitésimal constitue en algèbre le procédé à l’aide duquel nous passons d’une espèce à une autre lorsque d’ailleurs les espèces sont liées entre elles par des lois naturelles.

Les différents objets qui lombenl sous nos sens ou sous les spéculations de notre intelligence n’existent pas tous de la même manière : ils sont diversifiés soit par des propriétés naturelles lorsqu’ils sont du domaine physique, soit par des fonctions plus ou moins nombreuses qu’ils ont à remplir, lorsqu’ils sont de l'ordre intellectuel.

DE l’attribut de CONTISUITÉ.

Ces différentes propriétés ou fonctions qui appartiennent aux objets sont ce que nous apiiellerons leurs attributs, et leur ensemble dans un objet constitue le mode général d’existence de cet objet.

Tous ces attributs sont dénaturés tellement diverses, les lois qui les régissent sont si variables qu'il nous serait impossible de procéder à leur étude simultanée. Notre raison conçoit cependant qu’il doit y avoir certains liens entre les unes et les autres, qu’il doit exister quelque cause en vertu de laquelle un objet possède tel ensemble d’attributs plutôt que tel autre; mais ces sortes de questions, qui des l’abord viennent se présentera l’esprit, ne peuvent être immédiatement traitées, et nous ne saurions avoir l’espoir de parvenir à les résoudre que lorsqu’au préalable nous serons en possession de la connaissance des lois principales qui régissent en particulier chaque attribut; ce n’est qu’ajirès ce premier travail qu’il pourra être permis d'établir des comparaisons utiles entre les uns et les autres, et de s’élever jusqu’à la coiice()tion des causes nécessaires à leur association sur un mènie objet.

Le besoin de simplifier les études et de venir ainsi en aide aux opérations de l’es|irit nous porte donc à envisager séparément chaque attribut, à rechercher par conséquent, et à déterminer quelle est la part particulière que prend chacun d’eux dans le mode d’existence des objets.

G’est ce dont nous allons nous occuper pour celui qui a reçu le nom de continuité. Disons d’abord en quoi consiste l’idée qu’il faut attacher à ce mot.

Considérons deux quantités quelconques A et B de même espèce, dont l’une B est plus grande que l'autre, leur différence sera B- A; or, si l’espèce considérée est telle qu'il nous soit permis de concevoir que cette différence peut devenir aussi petite qu’on voudra le supposer sans que A et B cessent d’être des quantités distinctes de la même espèce, on 'dit que l’espèce en question jouit de la propriété d’être continue.

Il résulte de là qu'il n’y a aucun état D susceptible d’être conçu pour cette quantité entre A et B, qu’on ne trouve néces- . sairement parmi tes valeurs intermediaires qui existent de l’une