CHAPITRE H. i

accrédités, comme ils sont acceptés par tous ceux qui font de l’algèbre, nous voulons rechercher quel peut être le rôle de l’imaginaire dans la science telle qu’elle est comprise et pratiquée,et non dans une science, mieux constituée peut-être, mais qui ne serait pas celle que tout le monde admet aujourd’hui.

En conséquence, que les principes algébriques soient des vérités établies, qu’ils soient des axiômes, qu’ils méritent même les reproches adressés à certains raisonnements, nous ne discuterons pas actuellement sur ces points. Nous nous en tiendrons seulement aux conséquences qui font autorité, et qu’on ne pourrait méconnaître sans se mettre, en dehors de l’algèbre même.

C’est dans ces conditions que nous allons rechercher s’il est possible d’avoir sur les expressions imaginaires des notions plus précises que celles que nous possédons aujourd’hui; après quoi nous dirons quelle doit êlre l’intluence de ces recherches sur l’étal de nos conceptions scientifiques.

■ Quelle idée doit-on se faire de l’expression y/ — i ? De quelle nature sont les propriétés que cette expression peut faire acquérir aux nombres réels avec lesquels elle est associée? C’est ce que nous nous proposons de rechercher.

D’après les détinilions usuelles et admises dans la science, V— I est une expression qui, élevée au carré, doit donner pour résultat — i. Or, comme en ce qui concerne la grandeur il n’y a que le nombre i qui, élevé à une puissance quelconque, puisse produire l’unité, nous voyous que ce n’est pas en dehors de l’unité que nous devons chercher la solution du problème. D’ailleurs, au point de vue le plus général de la science des nombres réels, l’unité, en tant qu’elle doit rester elle-même comme grandeur, ne peut recevoir d'autre modification d’état que celle résultant de l’inlervention des signes -+- et — ; mais l’un et l’autre élevé au carré donnent -l-i, nous sommes dès lors obligé de conclure qu’il n’existe rien, dans le domaine du réel abstrait, dont l’élévation au carré puisse produire l’unité négative.

Nous devons en conséquence reconnaître que est inexécutable, qu’il n’y a aucune expression en algèbre qui soit sus-

, ceptible de représenter le résultat de l’opération qui consiste à extraire la racine carrée de — i. C’est pour cela qu’à cette expression, qui ne saurait avoir de représentation dans la science du réel, on a donné le nom d’imagfinaire; et, ne pouvant ainsi lui attribuer aucune traduction, aucun équivalent algébrique, on l’a laissé subsister dans la forme même suivant laquelle se révèle son existence: de sorte que, lorsque volontairement ou involontairement il doit être question d’elle dans le calcul, on lui donne pour représentant l’indice même de l’impossibilité de sa réalisation, on écrit V — i.

Mais on peut et on doit remarquer que tout n’est pas également impossible ou imaginaire dans cette expression.

En effet, j’y vois d’abord l’u ni té; or nous avons tous une parfaite intelligence de l’unité, soit qu’on la considère comme nombre, soit qu’on la considère comme étalon de la mesure des grandeurs. J’y vois ensuite le signe de la soustraction accompagnant cette unité : mais les géomètres, sauf un très-petit nombre d’opposants, savent que ce n’est pas là, tant s’en faut, un signe absolu et radical d’impossibilité. Ce n’est que lorsqu’à celte combinaison très-intelligible du nombre ou de la grandeur avec l’opération soustractive je veux appliquer l’opération radicale, que l’incertitude vient assiéger l’esprit, que l’impossibilité se manifeste, que l’imaginaire paraît. 11 n’y a donc ici d’imaginaire qu’une opération et non une grandeur; celle-ci continue de subsister dans sa réalité, elle ne cesse pas d’être comprise, même avec son attribut négatif; mais ce qu’on ne comprend pas, ce qui vient arrêter les ressorts de l’intelligence, c’est l’extraction de la racine carrée applicjuée à la combinaison de la grandeur avec le signe de la soustraction. Aussi serait-il beaucoup plus rationnel, pour représenter l’imaginaire, de se borner à l’expression de l’opération impossible, d’écrire V— au lieu de V — i î de même que pour représenter l’état négatif on n’écrit pas — I X A, mais simplement — A.

On verrait clairement par ce moyen que l’idée de grandeur n’a rien à faire ici, et que la seule chose qui soit imaginaire, c’est une opération.

Il n’y a donc pas de grandeurs imaginaires; il ne saurait dépendre de l’algèbre que ce qui existe réellement doive être relégué dans le monde des fictions. Mais il peut arriver quelque-