CHAPITRE VIII

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autant de fois que ce sera nécessaire pour reproduire ces grandeurs. On aura ainsi en nombres entiers une première représentation de celles-ci, mais généralement elle ne sera qn’approebée. On sera certain toutefois que ce qui restera après cette répétition pour atteindre une grandeur quelconque sera intérieur à la grandeur d’un module. Alors, pour exprimer ce reste, on aura recours, au procédé suivant : on divisera le module en un certain nombre de parties égales, on considérera une de ces divisions comme un nouveau module dont on se servira pour apprécier la grandeur du reste, on déterminera en conséquence combien de fois it faut le répéter pour avoir celui-ci, et ce nombre de fois sera inscrit à la suite du premier, en ayant bien soin de l’en distinguer, puisqu’il s’applique à un module dill'érent. Si après avoir fait cette seconde opération, it y a encore un reste, on créera un troisième module à l’aide ‘ d’une division e.\actedu second; on fera usage de ce troisième module comme on a fait usage des deux autres, et on obtiendra un nouveau nombre qu’on inscrira à la suite des précédents, en ayant encore soin de l’en distinguer par quelque signe conventionnel ; on continuera ainsi l’application de ce procédé et, comme les restes successifs vont en diminuant de plus en plus, puisqu’ils sont toujours moindres que des modules qui sont eux-memes de plus en plus petits, on arrivera enfin à un reste de si peu d’importance (]u’on pourra le négliger ; celte importance sera d’ailleurs déterminée chaque fois d’après la nature des questions qu’on se sera proposé de résoudre.

Si par exemple dans une opération de ce genre u,, ix,,...

sont les différents modules adoptés, si en môme temps a„ a„ a„... sont les nombres indiquant combien de fois chacun d’eux a été répété,- l’expression de la grandeur considérée sera

;.,,0n voit que tout est parfaitement concevable dans ces opérations; on n’y emploie que des nombres entiers, ce qui est conforme à la notion du nombre; on y pratique des divisions de modules, ce qui est toujours possible pour les grandeurs continues.

Quant au nombre de divisions en lesquelles ou partage les modules, il n’y a aucune prescription absolue à faire; ce nombre est arbitraire et son choix se détermine uniquement par des

DE l’ ATTRIBUT DE CONTINUITÉ.

considérations de commodité. Or^ comme ce que nous dirions de l'un s’appliquerait exactement à tout autre, etqueladivision décimale est certainement la plus conforme à l’esprit de notre système de numération, nous admettrons que c’est elle que nous avons adoptée.

Cela posé, supposons d’abord que deux modules ont suffi ; l’expression de la grandeur sera : a^ (Jt, + <*• Si un seul avait dû être employé, cette expression se serait réduite à a, a,. En cet état on peut, ainsi que nous l’avons fait remarquer. Supprimer l’indication du module et dire que le nombre a, exprime la grandeur considérée. Mais lorsque l’emploi de deux modules est nécessaire, on ne voit pas immédiatement comment il sera possible, sans introduire de confusion, d’en supprimer l’indication écrite ; car si on le faisait il ne resterait plus aucune trace des deux modules employés, de la relation qui les lie l’un à l’autre, et il serait impossible de rien voir de déterminé dans la somme Oi a,. Si donc on peut, sans inconvénient réel, supprimer la mention ostensible d’un module, on ne saurait le faire pour deux parce que le second pouvant être une dépendance du premier d’une foule de manières, il est nécessaire que la nature de cette dépendance soit connue pour être bien fixé sur la chose que représente a,.

Or, dans le cas que nous considérons, jx, est la dixième partie de (x„ de sorte que noirs préciserons parfaitement ce qu’est (x,

par rapport à ix, en écrivant que sa valeur est et alors l’ex-

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pression de la grandeur sera a, [x -t- a, Cela fait, si l’on sup. prime maintenant [x„ cette expression de la grandeur devient a, -1- a, — . Or, il résulte évidemment de cette forme que supprimer |x, revient exactement à substituer l’unité numérique à l’unité module. A la vérité l’unité numérique n’est pas divisible, mais sous la réserve expresse que mentalement (x, devra être accolé à cette expression, et que les divisions impossibles soit pour le nombre, soit pour l’unité numérique, s’effectueront sur le module, on ne sera pas exposé à se tromper en adoptant la forme ci-dessus pour la représentation de la grandeur.

Si on avait dû faire usage d'un troisième module fx„ qui au-