On peut établir les lois de l'induction par la eon
sidération des lignes de force, dont Faraday a introduit l'usage en Angleterre dans l'étude de l'électricité.
Ces lignes de force, qui représentent en chaque point la direction de la force magnétique, sont les lignes normales aux surfaces équîpotentielles dont il a été quesr tion au n" 167 , mais Faraday s'en est servi pour la représentation des pbénomëpes électro-magnétiques avant les travaux de Green sur la théorie du potentiel. Cette méthode n'est pas usitée en France ; nous nous bornerons à en dire quelques mots.
Pour explorer un champ magnétique, on conçoit à travers ce champ un certain nombre de lignes de force, et l'on démontre aisément que Técartement de deux quelconques de ces lignes est en chaque point de leur parcours en raison inverse de l'intensité magnétique.
Si donc on conçoit un grand nombre de ces lignes, l'intensité magnétique aux divers points de l'une quelconque d'entre elles sera représentée par le nombre de celles qui traversent l'unité de surface, située normalement à leur direction.
On peut, par conséquent, représenter un champ magnétique par un certain nombre de lignes de force, dont l'écartementen chaque point est en raison inverse de Finntensité magnétique. Pour un champ uniforme, toutes ces lignes sont également espacées les unes des autres.
Si un conducteur est en mouvement dans un champ magnétique, la quantité d'électricité qui le traverse est proportionnelle au nombre des lignes de force qu'il coupe, et par conséquent, si le champ est uniforme, à la projection de la surface qu'il décrit sur un plan normal à ces lignes, ce qui conduit aux résultats énoncés précédemment.
ET DB LEUR MltâURS KN DNITES ABSOLUES.
Application des Im de T induction à la diterminçition
de Tuniti absolue de risisiqnce,
239. Pour déterminer l'unité absolue de résistance, il suffit de chercher la résistance absolue d'un fil conducteur formé d'un métal quelconque de section et de Iout gueur connues ; en divisant la longueur de ce fil, I, par le nombre trouvé pour sa résistance absolue, a, on a l'unité
absolue de résistance,-, exprimée par une longueur
connue du fil qui a servi aux expériences. On peut effectuer cette mesure par plusieurs méthodes
fondées 3ur les lois de l'induction; nous indiquerons les principales.
240. Courant induit produit par la rotation d'un circuit. — Considérons un conducteur ÂGBD ifig. 62) , de
orme quelconque d'ailleurs, situé dans un plan normal à la direction XX' des lignes de force d'un champ magnétique uniforme, et supposons qu'on fasse tourner ce cir-
380 DES GRANDEURS ÉLKCTRIQ0E8
cuit d'un angle de 180'' autour d'un axe TE normal à XX' dans la direction de la flèche, c'est-à dire de façon que le point G de l'arc ACB passe par K, et que le point D de l'arc ÂDB passe par E.
Pendant ce mouvement il se développe un courant d'induction allant, si le pôle nord est situé du côté X, de B en A dans l'arc ACB et de A en B dans l'arc BDA. Ces deux courants circulent dans le même sens et s' ajoutent'.
Si le mouvement de rotation est uniforme, le courant induit n'a pas une intensité constante; sa plus grande valeur correspond au moment où le circuit passe par le plan ZOX parallèle aux lignes de force du champ.
Désignons par H l'intensité du champ magnétique,
par S et S' les deux surfaces comprises entre l'axe AB et
les arcs ACB et ADB, surfaces qui peuvent être diUé-
rentes, et enfin par B la résistance totale du circuit.
On a, en vertu des principes exposés plus haut, pour
la quantité d'électricité qui est mise en mouvement pen-
2HS dant que le conducteur tourne de 180°, -^g- pour l'arc
2HS' ACB et — ^ pour l'arc ADB, ce qui donne pour la quantité
totale d'électricité qui traverse le conducteur, dans la di-
rection de la flèche, — -^ — i-, ou plus simplement -=-,
si S représente la surface totale AGBD.
Si les lignes de force du champ étaient parallèles à l'axe de rotation ZOZ', il n'y aurait aucun courant produit dans le circuit, puisque les courants développés dans les deux branches DAG et GBD, égaux et de sens contraire, s'annuleraient.
Enfin, si les lignes du champ ont une direction oblique TT, et si 8 représente l'angle TOX, l'effet produit par le
champ magnétique H sur le conducteur en mouvement peut être considéré comme dû aux deux composantes H cos 0, suivant OX, et H sin 0, suivant OZ. L'action de la seconde composante est nulle ; quant à la première, elle donne lieu, lorsque le cadre tom-ne de 180*, à un courant électrique produit par le mouvement de la quantité
d'électricité 5 .
C'est ce qui a lieu lorsqu'un conducteur fermé est mis en mouvement autour d'un axe vertical; le courant est produit uniquement par la composante horizontale du magnétisme terrestre, H cos 6, ou A, et la quantité d'électricité qui circule, quand ce conducteur tourne de 180«,
est-^.
Si le fil enroulé sur le cadre forme p tours, la quantité d'électricité développée est
2pAS
Lorsque le cadre continue à tourner de façon que le point C, arrivé en D, revienne à sa première position en passant par E, il se développe encore un courant induit, mais qui a une direction contraire à celle qu'il avait pendant la première moitié du mouvement. Le sens du courant dans l'anneau mobile varie donc à chaque demirévolution.
241. On peut faire passer l'électricité développée par l'induction dans un circuit extérieur en faisant aboutir les extrémités du fil enroulé sur le cadre à deux anneaux métalliques sur lesquels appuient des frotteurs reliés à ce circuit, et disposer ces anneaux de façon qu'ils forment un commutateur et que le sens du courant dans le conducteur extérieur soit constant.
382 DKS GRANDEURS ÉLECTRIQUES
Si m est le nombre de demi^révolutions effectuées par le cadre mobile pendant une seconde, la quantité d'électricité qui traversera le conducteur extérieur pendant ce temps sera
%pmhS R •
Le mouvement de rotation peut d'ailleurs être assez rapide pour produire l'effet d'un courant continu, dont l'intensité est exprimée en unités absolues par cette formule.
On peut mesurer l'intensité de ce courant ed lui faisant traverser le fil d'un galvanomètre absolu; si i représente cette intensité, on en déduit la valeur de la résistance R :
-, 2pmAS
Supposons par exemple que le galvanomètre soit une boussole de tangentes de rayon r et dont le fil ait une longueur l, on aura (n*" Idl) :
t = -j- tango,
ce qui conduit à l'expression :
p tpmis ~ r* tang 6 '
Cette expression est indépendante de la valeur h du magnétisme terrestre.
R représetite la résistance totale du circuit, comprenant celle de l'inducteur, du galvanomètre et des fils de jonction. On peut, par les procédés galvanométriques ordinaires, comparer ces diverses résistances et les exprimer en longueur d'un même fil de conductibilité et de section déterminées ; on en déduit la longueur de ce fil qui correspond à l'unité absolue de résistance.
Cette ihéthode ne donnerait pas des résultats suffisamment exacts, à cause de la résistance qui est introduite par les frotteurs destinés à changer le sens du courant dans le circuit extérieur à chaque demi-révolution.
242. Première méthode de Weber. — Weber a déterminé en 1851 l'unité absolue de résistance par deux méthodes différentes dont nous nous bornerons à indiquer le principe (*).
La première consiste à mesurer la quantité d'électricité mise en mouvement par l'action du magnétisme terrestre dans un conducteur fermé, lorsqu'on le fait tourner brusquement autour d'un axe vertical d'un angle de 90 ou de 180^
Le fil, enroulé autour d'un cadre de bois, était mis en communication avec un galvanomètre éloigné par des fils conducteurs assez flexibles pour permettre de faire osciller le cadre de 180* sans rompre la communication.
Si l'on suppose le cadre mobile placé d'abord dans un plan normal au méridien magnétique, et si on le fait tourner d'un angle de ISO"", il se développe un courant induit, et la quantité d'électricité mise en mouvement, 9, est, ainsi qu'on l'a vu plus haut,
p étant le nombre de tours du fil sur le cadre , S la surface enveloppée par chacun d'eux, et R la résistance totale de circuit.
En traversant le galvanomètre, cette quantité d'élec-
(*) La première mesure de la résistance d'an conductear en anitég électi omagnétiqaes absolues a été effectuée en 1849 par M. Klrcbhoff. Sa méthode, qui reposait également sur l'induction, consistait à écarter brusquement l'une de l'autre deux parties d'un même circuit traversé par un courant et à mesurer la variaUon d'intensité qui en résulte.
tiicité produit un écart subit de l'aiguille et, si a est l'angle qu'elle décrit, la quantité q est donnée par la formule
2 sin-a x^A ^ = W. '
N étant la constante du galvanomètre et t la durée d'une oscillation simple de l'aiguille sous Tinfluence du magnétisme terrestre (n* 21 3) .
On a donc
d'où :
^ sin - a
On remarquera que la valeur de ( dépend de l'intensité du magnétisme terrestre, et doit être déterminée au moment de l'expérience.
Si le galvanomètre est à cadre circulaire de rayon r, et si n est le nombre de tours de fil, on a :
et
^ 2r.«npS .
rt sin - a
On peut accroître la déviation a en faisant tourner plusieurs fois rinducteur d'un angle de 180* au moment où l'aiguille passe par le zéro, de façon que les actions sur l'aiguille s'ajoutent. Si a^ est l'angle d'oscillation de l'aiguille au bout d'un nombre m de mouvements du cadre,
on a :
27;*npmS R = —.
rt sin - «
Cette formule est établie en supposant que le courant induit ne circule que pendant un instant infiniment court, au moment où Taiguille du galvanomètre passe parle zéro, et que tous les tours de fil ont une même action ; mais en réalité il n*en est pas ainsi, et Weber a dû modifier un peu la marche des expériences et introduire diverses corrections. Le cadre mobile de l'instrument dont il s'est servi avait environ 1 mètre de diamètre; le fil enroulé autour du cadre était un fil de cuivre recouvert de coton pesant 16 kilogrammes, et décrivant 145 tours. Quant au galvanomètre, il était formé d'un cadre circulaire de plus de 0",60 de diamètre, au centre duquel était suspendu un petit barreau aimanté de 0"*,06 seulement de longueur; le fil enroulé autour de cet aimant était un fil de cuivre recouvert de coton faisant 1.854 révolutions.
2A3. Méthode dite d'amortissement. — La seconde méthode employée par Weber, dite méthode d'amortissèment, consiste à faire osciller sous l'influence du magnétisme terrestre un barreau fortement aimanté au centre d'un cadre sur lequel est enroulé un fil conducteur, et à comparer la durée des oscillations suivant que le circuit est ouvert ou fermé.
Dans le premier cas, les oscillations ne diminuent que très lentement d'amplitude sous l'influence de la torsion du fil et de la résistance de l'air ; mais, lorsque le circuit est fermé, il se développe, sous l'influence du mouvement de l'aimant, des courants induits qui réagissent sur lui et amortissent le mouvement : l'amortissement dépend de l'intensité du courant induit, et par conséquent de la résistance du circuit.
De l'amplitude des oscillations on déduit la force électromotrice d'induction, et de leur décroissance l'intensité du courant induit. Le rapport de la force électro*
386 DES GRAMDEUES ÉLECTRIQUES
motrice à l'inteDsité donne la valeur de la résistance absolue du conducteur enroulé sur le cadre.
2AÂ. Méthode employée par la commission de CAssocia^ tion britannique. — La méthode employée par la commission de TÂssociation britannique pour Tavancement dés sciences, sur l'indication de sir William Thomson , consiste à faire tourner d'un mouvement rapide autoui* d'un axe vertical un anneau sur lequel est enroulé un fil conducteur, et à observer la déviation d'un petit aimant mobile au centre de cet anneau. La direction du courant change à chaque demi- révolution dans le fil conducteur, mais, par suite des positions difi'érentes qu'il occupe, il agit toujours dans le même sens sur Taimant placé au centre.
L'intensité du courant induit dans le conducteur pendant la rotation autour de l'axe est variable, et il est nécessaire de calculer la quantité d'électricité mise en mouvement pendant chaque demi-révolution.
Soient CÉDEG (fig. 63) la circonférence décrite par le
Fig. 63.
milieu du conducteur mobile^ le mouvement ayant lieu dans le sens de la flèche XX' la direction de la projection horizontale des lignes magnétiques du champ ; 0 la projection de l'axe de rotation en même temps que le centre
KT Dfi LEUR H£8UR£ EN UNITÉS ABSOLUES. 387
de rinstrument, où nous supposons placé un pôle magnétique d'intensité |jl, 11' et HH' les projections de deux positions voisines du conducteur mobile.
Désignons par a Tangle KOI, par da le petit angle lOH, et par dO le temps employé par le conducteur annulaire pour passer de la position projetée en lOr à là position projetée eh HOIT.
La quantité dq d'électricité mise en mouvement pendant l'intervalle de temps dQ est égale au produit de la différence des projections des deux cercles 1 1 et HH' sur le plan vertical projeté YY' par l'intensité horizontale h du magnétisme terrestre, divisé par là résistance totale du circuit, R9 ou à
ffr*A[siD (g 4- da) — sin a]
r étant le rayon de la circonférence mobile» égal à OK. L'intensité t du courant, qu'on peut considérer comme constant pendant ce mouvement, dO étant infiniment petit, est :
. 7:r'A[sin (« + da) — sin a] * - Rd8
Si la rotation est rapide, ce courant produit sur l'aiguille le même effet qu'un courant continu et constant qui parcourrait un conducteur supposé invariable, projeté en ir, et dont l'intensité I serait, en représentant par T la durée d'une demi-révolution :
wl6 __ T7r*h[8m (a + da) — sin a] ^■"T'" RT •
Ce coiurant développe sur le pôle magnétique, p, situé au centre 0 du cadre, une force OM, normale au plan projeté en 01 et égale à
qu'on peut décomposer en deux forces OF et OG dirigées suivant les axes OX et OY'. On n'a pas à tenir compte de la première composante, car, lorsque le plan de Tanneau passe en tournant dans une position JJ' symétrique par rapport à Taxe XX', la force qu'il développe sur le pôle magnétique donne lieu à une composante suivant OX' égale et de direction contraire à OF. Quant à la composante OG, suivant l'axe OY', elle est
^îîlf* «rvr. â^cIfA
— ^ ces MOG = — ^ ces a, T r
ou enfin, en remplaçant I par sa valeur,
2Tt*rti/t CCS a[sin (a 4- do) — sin a]
RT
On a Taction totale du cadre mobile sur le pôle magnétique en faisant la somme des actions semblables pour toute les valeurs de a, ou en prenant l'intégrale de cette expression depuis a = — 90** jusqu'à a = 90**, ce qui donne pour la force à laquelle est soumis le pôle magnétique [x (*) :
'*) En remplaçant sin (a -l-f/a) — sina par </sin a, on a pour la différentielle de la force f :
d'où
or
df =1 C08 a rt 8in a ,
/ =~-jff-" \ COsat/sina;
C j . \ • . a + C08a8lna ^coaa asina = ^co8*flt(/a=i ,
dont la valeur de a = — -' àa = l est égale à -: on est donc conduit
à la formule
2àb. Supposons le pôle magnétiqae |jl, que nous avons considéré au centre du cadre mobile, remplacé par un petit aimant mobile, de dimension assez petite par rapport au rayon du cadre pour qu'on puisse, comme dans la boussole de tangentes, considérer l'action sur les deux pôles comme étant la même que s'ils étaient situés au centre.
L'aiguille étant d'abord orientée dans la direction du méridien magnétique, suivant OX (^^. ^A), prend, sous
Fig. 64.
l'action combinée du magnétisme terrestre et du courant induit qui se développe dans le cadre pendant la rotation , une situation d'équilibre aa\ et forme avec la direction du magnétisme terrestre, OX, un angle aOK = 5 qu'on peut observer en fixant sur le fil de suspension, extérieurement à l'anneau mobile, un petit miroir qui réfléchisse sur une échelle graduée l'image d'un point lumineux.
L'équation de l'équilibre s'établit comme pour la boussole de tangentes, ordinaire. L'action magnétique de la terre produit sur le pôle a une force aP parallèle à OX, égale à jxft, dont la composante suivant la ligne aF, normale à l'aiguille, est \Kh sin 5.
390 DES GRANDEUnS ÉLECTRIQUES
L'action électro-magnétique du cadre mobile produit une force aQ = /", parallèle à OC, dont la composante aQ' normale à Taiguille est /"cosS,
Dans la situation d'équilibre, on a :
/ces 8 = (JLAsin 8, ou, en remplaçant f par la valeur trouvée plus haut :
d'où Ton tire
et par suite
^ = tang8.
"~tâng8^T*
On a donc en valeur absolue la résistance R lorsqu'on connaît la déviation S, le rayon r de l'anneau et la durée! d'une demi-révolution, et pour effectuer cette détermination, on n'a besoin de connaître ni la force magnétique de l'aimant, ni T intensité du magnétisme terrestre.
La résistance est exprimée par le multiple du rapport d'une longueur à un intervalle de temps, c'est-à-dire par une vitesse, comme on devait s'y attendre (n* 228),
Si le fil forme n tours sur le cadre, son action sur l'aiguille est n* fois plus considérable, puisque le courant induit est lui-même n fois plus grand ; la force f devient donc :
et la résistance R :
^^-tangB^T'
ou, si u désigne la vitesse de rotation angulaire = ,
tang 0
CT DE LEUn MESURE EN UNITÉS ABSOLUES. 394
Enfin si L est la longueur du fil enroulé, L = 2niir çt la formule devient :
fi ^ L«u irtangî"
Tel est le principe de la méthode employée par la commission de l'Association britannique pour la détermination de Tunité absolue de résistance; mais il y a un certain nombre de corrections à introduire dans la formule pour tenir compte de la torsion du fil de suspension , de la différence de rayon des divers tours de fil, de leurs positions différentes par rapport à Taxe, etc.
2A6. Les expériences ont été faites à deux reprises différentes, enl863etl864, àRing's collège, par MM. Maxwell, Jenkin, Balfour ^tewart et Hockin, au moyen d'un appareil construit avec le plus grand soin par MM* Elliot frères.
Cet appareil consistait en une bobine tourn^te de O^ySO dç diamètre soutenue par un fort \>&t\s en fonte; elle était mise en mouvement par un nioteur qui li;i imprimait une vitesse qu'op pouvait faire varier de 100 à 500 révolutions par ipipute. L'aimant était de très petite dimension, ce qui rendait à peu près nulle son action inductrice sur )e conducteur; il était susipien(|u au centre du cadre au moyen d'une tige soutenue par un fil de cocon de 2'',50 environ de longueur renfermé dans un conduit et à l'abri des courants d'air. Un petit miroir fixé sur la tige, au-dessus du cadre, réfléchissait sur une échelle graduée l'image d*un point lumineux, et faisait connaître la déviation.
Quant au fil enroulé sur le cadre, et dont on cherchait la résistance absolue, c'était un fil de cuivre l^^jô de diamètre environ qui, dans les premières expériences, faites en 1868, avait S02»,06S de longueur et formait
307 tours; dans la seconde série d'expériences, faites en 186i avec le même appareil, le fil formait 313 tours et avait un développement de 311"*418,
La résistance du fil du cadre, que l'expérience donnait en unités absolues, était aussitôt comparée par les procédés galvanométriques ordinaires, à celle d'un conducteur étalon maintenu à une température constante, dont on déterminait ainsi la résistance absolue.
Le rapport de la longueur de ce dernier à la valeur de sa résistance, déterminée par cette méthode, faisait connaître l'unité absolue de résistance exprimée par une longueur de ce fiU
Nous donnerons la description complète de l'appareil ; pour le moment nous nous bornerons à l'indication sommaire de Tune des expériences.
Avec le premier conducteur de 302'",063 de longueur, on obtenait une déviation de l'aiguille de 3*^15', pour une rotation de 408 tours par minute. En appliquant la formule précédente :
LrtangB' et en faisant :
L = 302-,063, M = ^ = ^ ^ ^^ — ^=42,72,r=0,15 et5=3M5',
on trouve :
/ mètre \
R =. lli. 470.000 unités absolues de résistance | r- 1.
\8econde J
La grandeur de l'unité absolue exprimée par une longueur de fil de même nature que celui de la bobine est
302™ 063 donnée par le rapport ' J , si Ton ne tient pas
compte des corrections à introduire.
L'unité de résistance ainsi obtenue, — - — r-» est beauseconde
coup trop petite pour les usages ordinaires ; aussi est-ce un multiple de cette unité qu'on a adopté dans la pratique.
mètre
Ce multiple est le produit de l'unité absolue , r-
'^ ^ ' seconde
par 10\ Cette unité était, dans l'expérience que nous venons de
citer, représentée approximativement par du
fil qui servait à l'expérience.
Ainsi qu'on vient de le dire, les expériences ont été faites en 1868 et 1864 ; c'est de la moyenne trouvée dans les deux séries qu'on a déduit la valeur de l'unité absolue, dite unité BA de l'Association britannique et nommée Obmad ou Ohm, dont un certain nombre de types ont été conservés dans les archives de l'Association, et dont des copies sont distribuées aux physiciens qui en font la demande.
Cet étalon offre la même résistance qu'une colonne de mercure à O*" centigrade, de 1 millimètre carré de section, et dont la longueur serait égale à l'",02ô et est exprimée par ce chiffre en unités Siemens (unité 1862) .
247, Induction dans un champ magnétique varié. — Nous avons considéré jusqu'ici l'induction développée dans un conducteur en mouvement dans une champ magnétique uniforme ; les mêmes principes s'appliquent au cas où le conducteur se meut dans un champ quel* conque, tel que celui qui est dû à la présence d'un ou plusieurs aimants.
La quantité d'électricité développée peut se calculer en décomposant la marche du conducteur de façon à n'avoir à considérer, à chaque instant, pour chacun de ces éléments, qu'un déplacement infiniment petit dans un champ sensiblement uniforme.
On obtient ainsi la quantité d'électricité dQ mise en circulation pendant un intervalle de temps très court dt :
on en déduit l'intensité du courant I = -J^, et la force
ai
électromotrice E = IR, R représentant la résistance du circuit.
La quantité dQ d'électricité et l'intensité I du courant sont, ainsi qu'on l'a vu (n*» 280), en raison inverse de la résistance totale du circuit, R, et, par conséquent, la force électromotrice est indépendante de cette résistance.
248. — On peut, par cette méthode, calculer l'intensité du courant induit développé dans un conducteur rectiligne tournant, d'un mouvement uniforme, autour d'un pôle magnétique.
L'effet est le même si, le conducteur restant fixe, le pôle magnétique tourne autour de lui; on a ainsi un courant induit développé dans un conducteur invariable par le simple déplacement des lignes de force.
249. — Enfin, l'induction se produit également sans mouvement matériel, lorsque l'intensité magnétique du champ dans lequel se trouve un conducteur bç modifie par suite de l'aimantation ou de la désaimantation d^ barreaux de fer doux, ou par la variation d'intensité d'un courant dans un circuit voisin.
On arrive, par exemple, à la conception du courant induit qui se développe dans un conducteur enroulé autour d'un électro-aimant au moment de l'aimantation ou de la désaimantation de ce dernier en le supposant aimanté préalablement et en admettant qu'il soit brusquement amené d'une distance infinie à sa position qu'il occupe dans le conducteur, ou inversement qu'il s'en éloigne.
ET DE LEUH MESUBB EV UVITÉ8 ABSOLUES. 305
Un courant induit développe, soit en échauffant les conducteurs qu'il traverse, soit en produisant un travail quelconque de l'énergie qui doit correspondre à la perte d'une quantité équivalente de force vive. Cette force vive est fournie par l'énergie qu'il faut dépenser pour aimanter le fer doux, et correspond soit au travail dépensé à faire mouvoir des aimants, soit à la chaleur perdue dans les combinaisons chimiques de la pile.
