U,OD
Réciproquement l'on a pour la hauteur à laquelle une roue donnée peut élever l'eau
ou attendu que V,=^|^ = 0,147X,
On voit que cette hauteur dépend du nombre de tours de la roue en 1' et de son rayon extérieur, de sorte que l'un de ces facteurs étant donné ou limité comme nous l'indiquerons
144 MACHINES ÉLÊVATOIRES
plus loin, Ton pourra encore disposer de l'autre pour élever l'eau à une hauteur donnée.
On verra que cette règle s'accorde assez bien avec l'observation.
101. Rapport des aires avenir èt et de sortie de Veau à travers la roue, et règles pratiques. — Le mouvement de l'eau s'accé- Jérant par l'action de la force centrifuge depuis son intro- # duction par les deux ouvertures centrales jusqu'à sa sortie par la circonférence, il convient de déterminer la dimension de cette roue de manière que l'eau en sorte en remplissant les orifices, afin qu'il ne se fasse pas dans l'intérieur même* de la roue des tourbillonnements ou des remous susceptibles d'occasionner des pertes de force vive.
Dans les deux pompes de ce système que j'ai eu l'occasion d'expérimenter et qui ont donné un rendement de 0.65, la somme des aires des orifices d'évacuation, qui a pour valeur très- approximative
2ïcR'Lsina,
« étant l'angle formé par le demier élément des aubes avec la tangente à la circonférence extérieure, et ordinairement égal à 20°, ce qui donne sin a =0.342, était d'environ 0. 75 de la somme des aires des deux passages centraux, dont les diamètres étaient la moitié du diamètre extérieur de la roue et dont les deux surfaces avaient ensemble pour expression
On avait donc la relation
0,75 ^=2*R'LX0,342 d'où l'on tire la relation
L=y^R'=0,55R' environ.
L'expression de l'aire des orifices d'évacuation de l'eau à la circonférence extérieure de la roue devient, au moyen de cette relation,
SkR'Lx sin 0=1.181^*.
D'une autre part, la force vive communiquée à l'eau qui traverse la roue, en suivant ses aubes courbes, est due au travail développé sur celte eau par la force centrifuge, cl l'on a, d'après le principe des forces vives,
1000Q yt= ÎOOOQ Vi , R ,
en nommant V la vitesse avec laquelle l'eau quitte le dernier élément de l'aube dans le sens de la tangente à cet élément.
D'où l'on déduit pour cette vitesse relative de sortie
ce qui est d'ailleurs, pour ainsi dire, évident, puisque l'eau suit l'aube, marche avec elle et la quitte à l'extrémité avec uné vitesse relative égale à celle avec laquelle l'aube l'abandonne, et qui, vu la petitesse de l'angle a, diffère très-peu de celle de la circonférence môme de la roue.
Il suit de là que le volume d'eau Q débité par la roue a pour expression
Q=2tcR'L sin «xW^MSIViH»,
et comme on a vu que pour le maximum d'effet il convient d'établir la relation
cette relation revient à
Q=l,465K"vVï, ce qui donne la valeur convenable du rayon extérieur R' de
146 MACHINES ÉLÉVAT01RES
la roue pour élever un volume d'eau demandé Q à l'aide de la formule
On peut donc au moyen des formules précédentes, déduites à la fois des principes théoriques et des résultats de l'expérience, déterminer toutes les proportions de la roue à aubes courbes qui est l'élément principal de ce genre de machines.
En récapitulant ces formules on voit que l'on déterminera:
1° Le rayon extérieur de la roue par la formule
2° Le rayon R" des oriûces centraux d'admission par la relation
3° La largeur de la roue L dans le sens de l'axe sera donnée par
4° La vitesse de la circonférence extérieure correspondante >au maximum d'effet sera
et le nombre N de tours que la roue devra faire en V sera
N 60V,R' 60y^ÏÏ ft.V^H "~ 2kR' 0t806.a«R' w R'
L'angle a du dernier élément des aubes avec la circonférence extérieure de la roue sera de 20°. Quant à l'angle a' de leur premier élément avec la circonférence intérieure de la roue, l'on peut le déterminer d'après les proportions précé-
dentés de manière à éviter presque complètement, à rentrée de l'eau sur l'aube, le choc contre ses premiers éléments.
La vitesse que l'eau a acquise par l'effet de l'aspiration produite par la force centrifuge au moment où elle arrive à la surface cylindrique intérieure de la roue, dont le rayon est R* , doit être V R w et elle est dirigée dans le sens du rayon. D'une autre part, la vitesse à la circonférence de cette même surface décrite par le bord intérieur des aubes est aussi V"R". La vitesse relative d'introduction de l'eau sur les aubes qui est la résultante de ces deux vitesses égales et perpendiculaires, forme donc avec le rayon et avec la tangente des angles de 45°, et c'est celle qu'il convient de donner à la tan gente du premier élément de cette aube, pour que l'eau entre sans choc sur les aubes. Par conséquent, l'angle a' que la courbe de l'aube doit faire avec la tangente à la circonférence intérieure de la roue étant aussi déterminé, la recherche du rayon de courbure des aubes reviendra donc à ce problème de géométrie: Tracer entre deux circonférences concentriques données, un arc de cercle qui rencontre la circonférence extérieure sous un angle a= 20° dans le cas actuel et la circonférence intérieure sous un angle a* donné, a' étant, dans le cas particulier qui nous occupe, égal à 45°.
La construction suivante donne la solution de ce problème.
Choisissez un point A quelconque de la circonférence extérieure pour le bord de l'aube, menez en A la tangente AT à cette circonférence et tracez une ligne AS faisant avec AT un angle a =20°. Élevez en Aune perpendiculaire AO sur AS, elle devra passer par le centre cherché ; menez le rayon
AC qui coupe la circonférence intérieure en E. A partir de ce point» prenez sur la circonférence intérieure un arc ED'=a-|-a'. La ligne AD sera la corde de l'arc cherché, et en élevant au milieu F de celte corde une perpendiculaire FO à sa longueur, le point 0 où elle rencontrera AO sera le centre de l'arc cherché, dont le rayon sera OA.
Conséquences de ce tracé des aubes. — Il résulte de ce tracé que l'eau entre à peu près sans choc sur leur premier élément intérieur et que la vitesse absolue avec laquelle elle sort de la roue est nécessairement très-faible, attendu que la vitesse relative de sortie de l'eau le long de l'aube est à très-peu près égale à la vitesse de rotation du dernier élément de celte aube et que ces deux vitesses font un très- petit angle a = 20«.
On satisfait donc à peu près aussi à la double condition générale que l'eau entre sans choc et sorte sans vitesse.
* Pour justifier celte construction, on fera remarquer d'abord que l'angle CAO est égal à l'angle a, et en appelant c l'angle CAD, l'on a OAD=a + c. Mais le triangle AOD devant être isocèle, puisque OA et OD sont des rayons d'un même arc de cercle, il s'ensuit que l'angle ADO = a-f-c. De plus l'angle CDOi=a', comme compris entre deux perpendiculaires-au* tangentes mD à la circonférence intérieure et à l'arc cherché, lesquelles doivent faire un angle égal à a'.
L'on a donc dans le triangle ADC l'angle
ADC=o+e+o , 1
et par suite ADC— CAD -= a -fa'.
La différence de ces angles est donc connue et le problème revient à construire le triançle CAD dont on connaît les côtés CA et CD, et dont les angles CDA et CAD diffèrent d'une quantité donnée a + a'.
Or on a ADC= 180,»- CDD'= 18G«— î-i'-^'
d'où ADC — CAD= 180" — D'R\ attendu que DE=E'G, ou ADC - CAE = ED'= a + a' ;
ce qui donne la direction de la sécante AD' et par suite le point D.
Nous verrons lout à l'heure que les aubes qui ne remplissent pas ces conditions sont beaucoup moins favorables que celles dont nous venons d'indiquer le tracé.
102. Obsewalion sur la limite de la vitesse que l'on peut imprimer à une pompe à force centrifuge. — Lorsque l'on veut construire une machine de ce genre ou s'en servir pour élever l'eau à une hauteur donnée, il ne faut pas perdre de vue que le liquide ne s'y introduit que par la diminution de pression que l'action de la force centrifuge produit vers l'axe, et que celte pression vers l'axe a pour limite inférieure le vide absolu. A celte limite, si elle pouvait être atteinte, l'eau entrerait dans la roue sous la pression totale de l'atmosphère, en supposant la roue noyée, avec une vitesse égale à
ou à
li étant la hauteur de l'axe au-dessus du niveau inférieur. Il ' faudra donc s'assurer si la somme des aires des passages centraux, qui est
est telle, que l'on ait encore
?nX2*R'"X 14-,24>Q,
77j élant le coefficient de contraction à l'entrée de ces orifices, lesquels peuvent être disposés de façon que l'on ait au moins
Si le produit
77iX2*R" , X14 B \24
était égal à Q, et à plus forte raison s'il lui était inférieur, il se produirait des interruptions dans l'alimentation de la roue.
Cet effet étant dû à ce que cette roue marcherait trop vite, par rapport aux dimensions de ses orifices de passage de l'eau, il faudrait augmenter les orifices, et par conséquent le rayon extérieur, de manière à rendre le produit
vn X 2wR"' X 14"*,24
notablement supérieur au volume d'eau Q à élever, et alors on déterminerait en conséquence la vitesse angulaire ou le nombre N de tours en V convenable au maximum d'effet, par la formule
OU
XT 8,435^2^»
105. Application. — Si par exemple l'on voulait élever 0 m,e ,050 d'eau à 15- de hauteur, et que par prudence on* s'imposât la condition que le volume
mX2irfrxi4«,24
fût double de celui de l'eau à élever, l'on aurait, en faisant .
m = 0,75, 2«=6,28 et Q = 0-°,100,
