CHAPITRE III. l

Enfin, si l'équation (i) a des solutions positives et des solutions négatives, et que l'on doive rejeter une partie des unes et des autres , on devra rejeter les correspondantes dans (3), quels que soient les signes dont elles soient affectées.

COMMENT ON DOIT TENIR COMPTE DES SIGNES DES COORDON- NÉES DANS LA MISE EN ÉQUATION DES PROBLÈMES GÉO- MÉTRIQUES.

121. Supposons des points, en nombre fini ou infini, situés dans le même angle des axes des coordonnées^ et des équations générales entre les coordonnées de ces points, prises avec leurs valeurs absolues, c'est-à-dire des équations qui aient lieu quelles que soient les valeurs des quantités qui y entrent et la position relative des points , situés toujours dans le même angle des axes.

Nous venons de voir comment devaient être pris les signes de nouvelles coordonnées, si l'on changeait l'origine ; mais la question que nous allons examiner n'est pas tout à fait la même. Nous ne voulons pas faire un changement de coordonnées après avoir trouvé des équations dans un système d'axes qui renferme tous les points dans un seul angle; nous voulons former les équations en prenant tout d'abord une origine telle, que les points se trouvent placés d'une manière quelconque dans les quatre angl^ des axes.

Or, si l'on commençait par prendre le premier système d'axes , où tous les points sont dans un même angle , que l'on y formât toutes les équations de la question et qu'on passât ensuite à l'origine choisie, on obtiendrait, comme nous l'avons déjà dit, des équations entre les coordonnées des mêmes points par rapport aux axes choisis, dans lesquelles ces coordonnées devront être considérées comme

l66 ÉTUDE DES COURBES.

des nombres absolus , d'un côté de l'origine , et comme des nombres négatifs, de l'autre; et c'est à cette condition que ces équations conviendront à tous les points. Mais on parviendra évidemment aux mêmes résultats sans commencer par l'origine auxiliaire, en exprimant exactement les mêmes choses successives au moyen des coordonnées voulues, et passant par la même suite de considérations ] les calculs ne différeront des autres qu'en ce que, au lieu des coordonnées qui s'y rapporteraient, on aura leurs valeurs en fonction des nouvelles qui doivent y être prises alors avec leurs différents signes. Mais il est évident qu'il n'est nullement utile de se reporter à chaque instant par la pensée aux axes qui renfermeraient tous les points dans un seul angle, et qu'on n'a besoin de s'occuper que des relations successives à établir entre les données et les variables ou les inconnues, en s'assujettissant toujours à la condition de regarder comme négatives les coordonnées dirigées en sens contraire de celles dont on ne doit considérer que les valeurs absolues. Et il est inutile de rappeler que les opérations sur ces quantités négatives isolées doivent être exécutées suivant les règles démontrées dans le cas des polynômes, puisque toutes nos formules n'ont été démontrées générales que sous cette condition expresse.

122. Remarque. — Ces raisonnements prouvent qu'en partant d'un système d'axes quelconques et ayant égard aux signes des coordonnées, on obtient finalement les niêmes équations que si l'on avait pris des axes renfermant tous les points dans un même angle , regardant leurs coordonnées comme des nombres absolus, et passant ensuite aux axes proposés au moyen des formules générales de transformation. D'où il résulte nécessairement que si tous les points cherchés ne pouvaient être liés par les mêmes équations générales, dans le cas où ils seraient cependant compris