CHAPITRE V

dans laquelle les coefficients A, B, C, peuvent être positifs, négatifs ou nuls.

On peut d'abord se débarrasser des deux cas particuliers où A ou B seraient nuls. Car, si Ton a A = o, il en résulte pour y une valeur réelle, constante, positive ou négative; dans le premier cas, tous les points d'une parallèle à Taxe des X conviendront exclusivement. Dans le second cas, si Ton n'accepte pas les solutions négatives, aucun point ne conviendra; et si l'on doit les construire en sens contraire des solutions positives^ le lieu sera une parallèle à Taxe des X du côté opposé.

Si l'on avait B= o seulement, x serait constant et le lieu serait une parallèle à l'axe des y; ou il n'y en aurait pas, si la valeur des x est négative, et doit être rejetée. Occupons-nous donc du cas général où ces coefficients ne sont pas nuls; mettons l'équation sous la forme

(1) yz=:ax-\-h

qui renferme même le cas des parallèles à l'axe des a*, et n'offre d'exception que quand y ne doit pas y entrer, ce qui est le cas de parallèles à l'axe des y.

Supposons d'abord, pour fixer les idées, que a et è soient positifs.

Soient AX, AY, les axes sur lesquels on portera les valeurs positives de x et j^, et l'angle qu'ils font entre eux.

Partons de a: = o {fig* 34)i et faisons-le croître indéfini-

ment d'une manière continue : ce que l'on exprime dans un

l88 ÉTUDE DES COURBES.

langage abrégé peu rigoureux, en disant qu'on fait croître l'abscisse x de zéro à V infini.

La valeur de l'ordonnée y se compose d'une partie constante i, et d'une partie qui varie proportionnellement à x. Si donc on prend AR = b et qu'on mène BU parallèle à AX, on obtiendra le point du lieu, correspondant à une abscisse quelconque AP, en menant PM parallèle a AY, et portant au delà de son point de renconfre Q avec BU une

longueur QM égale à ax ou telle que -^ = a. D'où il suit

que tous les points M, sont dans l'angle YBU, sur une droite indéfinie partant de M et inclinée sur l'axe, d'une quantité a < 0, telle que l'on ait

MQ sina sina

BQ ~~ sin(9 — a) ' ^" sin(Ô — a) ^ '''

a SÎD ô

tanga =

I + acosô

Le coefficient a déterminant complètement a, se nomme quelquefois le coefficient d'inclinaison de la droite. Si l'on ne veut construire que les solutions positives de l'équation, le lieu est borné à la partie indéfinie BZ de la ligne droite. Mais si l'on veut, ou que l'on doive admettre les solutions négatives de l'équation (i), en les portant sur les prolongements opposés des axes, c'est-à-dire sur les directions AX', AY', il y aura encore des points à construire; et nous allons voir qu'ils auront pour lieu le prolongement indéfini de la droite BZ en sens opposé. ,

En effet, si l'on prend sur AX' une quantité quelconque AP', et qu'on remplace dans (i) x par — AP', en supposant d'abord a. AP' <^ è, on trouvera

X—b — «.AP' =:P'Q' — fl.Q'B.

La quantité qu'il faut retrancher de P'Q' pour avoir le