CHAPITRE V

point M' du lieu, a donc avec Q'B un rapport égal à a qui est celui de MQ à BQ 5 et par conséquent M' est sur le proloDgement de la droite ZB. Il en sera de même jusqu'à ce que l'on ait a.AP' = è, d'où résultera ^=0, et le point du lieu sera à la rencontre de ZB avec l'axe desx. Si l'on continue à augmenter J' abscisse négative, et qu'on la prenne égale à — AP', la valeur de y tirée de (1) sera négative et égale au signe près àa.AP" — h. Mais a.AF'ou a.BQ'' étant à BQ'' dans le rapport «, si l'on prend Ç^'W=a. BQ'' le point M" sera sur le prolongement delà droite ZBC*, et commeP''M''esta. AP" — i. M" est le point du lieu, s'il est entendu qu'on portera sur le prolongement A Y' les valeurs négatives dej^. On voit donc, comme nous l'avions annoncé, que l'équation (i) a pour lieu tous les points d'une ligne droite, si l'on porte les valeurs de a: et de j positives, dans un sens, et les négatives dans le sens opposé.

Et réciproquement, comme par le point B on ne peut mener qu'une droite faisant, avec la direction BU ou AX, un angle donné a, la droite ainsi menée a pour équation

Y -.:^ ax -\- by

dans laquelle

A A» .. sin a

^ = AB et rt rrz — —

sm (ô — a)

145. Mais nous n'avons examiné que le cas <^ a et b sont positifs. La discussion des autres cas sera tout à fait semblable, et nous nous bornerons à l'indiquer.

Si, par exemple, a étant encore positif, b est négatif, on

prendra sur AY' une longueur AB' égale à la valeur absolue

de B, et on mènera B'U' parallèle à AX. L'équation (1) sera

alors

y :=zax — AB'.

Si donc on prend x = APi, que par Pi on mène PjQj parallèle à AY, et qu'on prenne Q, Mj = a. AP,, on aura

190 ÉTUDE DES GOURBES.

un point du lieu, pourvu que la soustraction soit possible, ou que Ton ait a. APi ^ AB'.

Si Ton n'accepte pas les solutions négatives, le lieu commencerait alors au point C de l'axe des x, pour lequel on aurait « . AC = AB'. Ce lieu serait une ligne droite partant de C et inclinée de l'angle a déterminé par l'équation

sin a

sin (Ô — aj

Si l'on doit construire les solutions négatives, en les portant en sens opposé, on reconnaîtra facilement que l'équation (i) aura pour lieu la droite entière dont nous venons de construire la partie indéfinie partant de C.

Il est presque inutile de direque si i = o, on a une droite indéfinie passant par l'origine des coordonnées.

146. Il ne reste donc plus qu'à examiner les cas où a est négatif, b pouvant être positif, négatif, ou nul.

Représentons a par — m et mettons l'équation (i) sous la forme

(2) J == — mx -{- b^

prenons AB = b {fig. 35), et menons BU parallèle à AX^

Fig. 35.

zv.

soit X = AP = BQ, on aura

7 =z AB — w.BQi=PQ — w.BQ.

On aura donc un point du lieu en prenant QM = m .BQ; et le rapport --^ étant constant, les points M seront sur