QUESTIONS SIMPLES

156. Du centre des moyennes distances. — On propose de déterminer, si cela est possible, un point tel, que sa distance à toute droite située dans un plan donné, soit la moyenne des distances de points donnés en nombre quelconque, à la même droite.

Soient Xiji, Xj/jv-» J^mJKm les coordonnées de m points donnés et X, Y celles du point inconnu.

L'équation d'une droite quelconque du plan peut se mettre sous la forme

y z=i ax -{- b.

Prenons-la d'abord telle, que tous les points donnés soient d'un même côté, leurs distances à cette droite exprimées par les formules .

y, — ax^ — h x^— ax^ — b /« — ax^ — b

seront toutes de même signe-, positives, si on suppose la droite au-dessous d'eux.

La distance du point X, Y à la même droite aura pour valeur

^i -ha'

et devra être égale à la somme des premières divisée par //i, si le point X, Y est pris du même côté^ et s'il était de Tautre côlé, il faudrait changer son signe pour ne pas égaler des quantités de signes différents.

En supprimant le dénominateur commun et désignant les sommes des abscisses et des ordonnées, respectivement

par^^j?!, y.7i , on aura pour exprimer la condition

donnée, l'équation

m ^md m ^^

h disparait et il reste

Pour que cette équation ait lieu quel que soit a, il est nécessaire et suffisant que l'on ait

Avant d'aller plus loin, il est bon de voir ce qui serait arrivé si on avait pris la forme inverse pour l'expression de la perpendiculaire abaissée de X, Y, c'est-à-dire

sj\ -f- a}

la quantité h n'aurait plus disparu, et pour que l'équation eût lieu quels que fussent a et 2», il aurait fallu trois équations au lieu de deux entre X etY, et Ton n'aurait pu y satisfaire.

Nous avons donc trouvé un point tel, que sa distance à toute droite qui laisse tous les points donnés d un même côté est la moyenne de la distance de ces points à la même droite. Ce point est unique et ses coordonnées s'obtiennent en divisant la somme algébrique de celles des points donnés, par leur nombre.

Considérons maintenant une droite quelconque, traver-