CHAPITRE V

sant le système des points donnés. Les formules que nous avons employées pour toutes les distances donnent des résultats positifs pour les points situés d'un côté de la droite, et négatifs pour ceux qui sonl situés de l'autre. D'où il suit que la somme algébrique que nous avons écrite, exprime la différence entre la somme des distances des points situés d'un même côté et la somme des distances des points situés de l'autre, et indique même par son signe quelle est la plus grande des deux.

Il existe donc un point unique dans le plan des points donnés qui est tel, que sa distance à toute droite du plan est la moyenne de celles des points donnés, en entendant que toutes ces distances sont considérées comme positives pour les points situés d'un même côté de la droite arbitrairement choisie, et comme négatives pour les points situés de l'autre.

Ce point se nomme le centre des moyennes distances des points donnés. Ses coordonnées sont les moyennes algébriques de celles de ces points.

\ 57. Lieu des points d^oii une droite donnée de longueur et de position est vue sous un angle donné. — Remarque relative à la formule de V angle de deux droites.

Nous avons déjà considéré ce problème comme exemple de solutions étrangères-, il va nous servir actuellement à montrer les précautions qu'exige l'emploi de la formule de Tangle de deux droites.

Soient BB' (Jig- 37) la droite donnée, 2a sa longueur

Fig. 37.

et II la tangente de Tangle sous lequel elle doit être vue du point quelconque M du lieu.

Les équations des droites menées de B et B' à M seront, en prenant B'B pour axe des j:, et pour axe des j^ la perpendiculaire au milieu,

m, m' étant les tangentes des angles a, a'.

Si le point M est au-dessus de Taxe des x^ l'angle sous lequel sera vue BB' sera a — a', et Ton devra avoir

i -^ mm'

Mais si le point est en M', au-dessous de AX, l'angle sous lequel sera vue BB' sera &J — a, et sa tangente sera

i -{- mm'

Or, Téquation (i) peut s'écrire ainsi ^ = — /x. Les

points du plan satisfaisant à ( i ) seront donc tels, que de ceux qui seront au-dessus de AX on verra BB' sous l'angle dont la tangente est jx, et que de ceux qui seront au-dessous, BB' sera vue sous l'angle dont la tangente est — fi, c'est-à-dire sous l'angle supplément. C'est là l'explication du résultat que nous allons trouver en faisant usage de l'équation unique (i).

Si nous désignons par x^j les coordonnées qui satisfont aux équations des deux droites , on aura

et les reportant dans (i), on aura entre les coordonnées d'un point quelconque du lieu, l'équation suivante

x' — rt'