CHAPITRE VI

raie du second degré

(i) ay"^ + hxy 4- cx^ -h cly -h ex -1-/*=: o.

El d'abord remarquons que, quel que soit le lieu de celle équation, si on le rapportait à des axes choisis arbitrairement sur le J)lan, son équation serait du même degré \ et par conséquent Féqualion (i) qui est aussi générale que possible, peut être supposée celle du même lieu par rapport à tout système d'axes , de sorte que toute proposition qui se trouvera établie relativement à l'un ou à Taulre de ces axes, le sera relativement à une droite arbitraire.

Cette remarque, qui s'applique à tous les degrés, nous permettra de démontrer très-simplement des propriétés très-générales des courbes du second degré.

159. Intersection par une droite quelconque. — Si on cherche Tintersection du lieu de Péquation (i) par Taxe des X, ce qui se fera en y faisant j^ = o, on aura pour déterminer la position de ces points Téquation

{l) cx^ -\- ex -h/z=0.

Or en général cette équation n'admet pas plus de deux racines ; et l'axe des x représentant une droite quelconque du plan, on obtient cette proposition générale : Une droite quelconque ne peut en général avoir plus de deux points communs avec une courbe du second degré. Pour que ces deux points existent, il faut que les racines de Péquation (i) soient réelles et inégales.

Si elles étaient égales, les deux points seraient réunis en un seul. II n'y en aurait aucun, si elles étaient imaginaires. Si l'on avait c = o, il n'y aurait qu'un point de rencontre. Mais cette circonstance est différente de celle des racines égales. En effet, si on conçoit que les coefficients de (a) varient d'une manière continue en tendant vers la condition d'égalité des racines, les deux points de rencontre se rap-

procheront indéfiniment et se confondront quand on aura e^ = 4^/' Dans le second cas, c tendant vers zéro, Tune des racines croit sans limite, les deux points s'éloignent indéfiniment l'un de Tautre, et quand on a c = o, il n'en subsiste plus qu'un.

Enfin si l'on avait c = o, e = o^f= o, l'équation (i) serait satisfaite quelque fût x, et par conséquent tous les points de l'axe des x conviendraient. Dans ce cas particulier cet axe appartient au lieu. L'équation (i) devient alors y (ay -^ bx -{- d) = o et représente l'ensemble de deux droites dont l'une a pour équation j^ = o et l'autre aj'^bx'hd=:o. C'est le seul cas où une droite puisse avoir plus de deux points communs avec un lieu du second degré.

160. Diamètres. — Occupons-nous maintenant de construire tous les points du lieu. Il faudra pour cela, comme nous l'avons dit généralement, donner à x d'une manière continue toutes les valeurs réelles de o à ih oo et déterminer la suite des valeurs réelles correspondantes de j*. A cet effet nous résoudrons l'équation (i) par rapport à y, et nous aurons

la ' 2a

Cette expression montre d'abord que, pour toute valeur de X qui rend le radical réel, il y a deux valeurs de y réelles, et par suite deux points du lieu situés sur une parallèle a l'axe des /, et également distants du point du plan dont

l'ordonnée serait '■ La suite des points milieux

la ^

des cordes parallèles à l'axe des j'^ et relatives aux valeurs successives de x est donc représentée par Téquation

hx -^ d la

qui est celle d'une ligne droite UV (,/îg^. 38, p. 208). Et

(3) y— ±. — sl[b'—^ac)x^-^'2.[hd'—7.ae)x-\-d^—^af: