CHAPITRE VI

comme l'axe des^ a une direction quelconque par rapport au lieu, on obtient cette proposition générale :

Dans toute courbe du second degré le lieu des milieux d'un système quelconque de cordes parallèles est une ligne droite. Cette droite se nomme le diamètre de ces cordes,

La suite de la discussion va beaucoup dépendre du signe du coefficient de x* sous le radical, et nous la partagerons en trois cas bien distincts, correspondants aux trois hypothèses

b^ — ^ac<^0, b^ — ^ac^o, b^ — ^ac =: o,

161 . Premier cas, — Soit ft' — ^ac <[ o. En le mettant en facteur sous le radical, nous aurons

bx-\-d , I /^. , . / ^ bd—iae d- — 4«/\

et posant i' — 4«^' = — A*,

bx -h d , k / (nae — bd d^ — Aaf

Y = ih— i/ — x' -h 2 4- -. — X — ^.

2fl la y 6' — \ac b^ — ^ac

Posant -7- 7 — = /7/, la quantité sous le radical devient

b^ — ^ac ^

— {x— my -f- w' ; ^ .

et comme — (x — m)* est toujours négatif, il faut que l'ensemble des termes suivants soit positif, ou le radical ne serait jaçaais réel, et l'équation proposée ne représenterait

aucun lieu. Supposant donc — m* y^ — y — positif, en le

représentant par/;' l'équation (1) résolue sera

bx -\- d , k

y— d= — slp^ —(x — mf,

La forme de la quantité sous le radical dispense de con-

2o8 ÉTUDE DES COURBES.

sidérer toutes les valeurs de .r de — « à + « . Car, pour que^ soit réel, il faut que l'on ait (3: — m)^<^p^ on au plus l'égalité {x — m)' ^p', qui donne x = m± p. Ces deux valeurs Ab, ÂB'dex, rendant le radical nu), donnent deux points sur le diamètre même. Soient D, D' ces deux points, C le milieu entre B et B' 5 on aura par suite AC ^ m, BC = CB' = /j et DO = D'0. Maintenant, pour avoir [x — m)' <^p*, il faudra que x — m ou m — ^rsoit plus

Fig. 38.

petit que p, et par suite que x soit compris entre m -\-p et m — p, et par conséquent le lieu est compris entre les parallèles indéfinies BD, B'iy.

La plus grande valeur du radical aura lieu quand x — m sera zéro, oua^^ m. Si donc à partir de O on porte en dessus et en dessous —, on aura deux points H,H' appartenant au lieu, et qui seront les plu'k éloignés du diamètre DD'. D'où il suitquesi par ces points on mène des parallèles EF, E'F' à ce diamètre, le lieu sera tout entier compris entre ces parallèles ; et comme il l'est déjà entre EE' et FF', il sera renfermé dans l'intérieur du parallélogramme EFF'E', et passera par les milieux de ses quatre côtés. De plus toute valeur de x entre m — p etwi + p donnant des valeurs réelles pour y, le lieu sera une courbe continue et fermée. On lui a donné le nom d'ellipse.