CHAPITRE TIII

bole, suivant que Ton a

771 <^ O, /Il > o, m = o.

L'axe des x est^ dans le cas de l'hyperbole, son zxe transverse ; dans le cas de l'ellipse, nous supposerons, pour fixer les idées et abréger les discussions, quon ait pris son grand axé pour Taxe des or, et alors la valeur absolue de m sera plus petite que i . Soient « , S les coordonnées du point cherché, et

ajr -\- bx -^ c z:^ o

Téquation de la droite correspondante.

La distance d'un point quelconque x^ y k cette droite aura pour expression

OY -\- bx -X- c

On peut donc regarder oy -f. ix -f- c , qui est le produit

de cette perpendiculaire par y/a^ •+- i', comme étant son produit par un nombre constant inconnu ; de sorte qu'en écrivant Téquation

on exprime simplement que la distance du point x, y au point (X, S est dans un rapport constant avec sa distance à la droite oj^ + ix -+■ c = o. Et lorsque Ton aura délerminé a, €, a, &, c, on connaîtra le point, la droite et

ce rapport constant, qui sera ^a* 4- A*. Les calculs se trouveront ainsi plus simples que si on laissait le divi'»

seur ^a^ -h b^j et qu'on multipliât l'expression par une nouvelle lettre représentant le rapport constant.

On remarquera que l'équation (2) peut s'interpréter d'une seconde manière. Elle exprime, en effet, évidemment que la

a3o ÉTUDE DES COURBES.

distance d^un point quelconque de là courbe au point (a, 6) , est une fonction rationnelle et linéaire des deux coordonnées du point de la courbe. Ce second point de vue donnerait au problème un énoncé différent, conduisant à une solution identique*

Occupons-nous maintenant de la détermination des constantes inconnues. En élevant les deux membres de Té-^ quation (i) au carré, et réduisant, on obtient

— à^) — 2 abxy -\- x^ [i — ^') — 2 (6 -f- ac) f

— 2 (a -f- bc) d? -h a' H- 6^ — r» 1= o,

équation qui doit être satisfaite par les coordonnées x, y d'un point quelconque de la courbe donnée, mais peut-être sans réciprocité.

Et quand cette réciprocité aurait lieu, Téquation (3) devrait-elle nécessairement coïncider avec l'équation (i), qui est celle du même lieu? en d^autres termes, un même lieu ne peut-il avoir qu'une seule équation? c'est ce que Ton admet ordinairement sans raison suffisante, et nous croyonsdevoir insister sur ce point, qu'il est très-facile d'établir rigoureusement.

180. Soient, en effet, deux équations générales du second degré, et* admettons que toutes les solutions réelles de la première soient solutions de la seconde; nous allonsdémon trer que les premiers membres ne peuvent différer que par un facteur indépendant de 3ù,y\ ou, en d'autres termes, qu'en réduisant à l'unité les coefOcients de deux termes semblables, tous les autres sont respectivement égaux dans les deux polynômes.

Supposons donc qu'on ait réduit à l'unité les coefficients de j'*, et que les deux équations soient

^2-f- kxy 4-Bx'-hC/-f-Dx-hE = o,

^* -I- A' :cr -I- B' a?2 4- C j -M>'x -i- E' = O, •