CHAPITRE XII
La question est donc encore ramenée à déterminer la limite du rapport des accroissements inGniment petits des coordonnées ÂM, MB. On prendra ensuite sur les rayons vecteurs, à partir du point de la courbe, deux longueurs quelconques proportionnelles à leurs accroissements positifs ou négatifs, et dans le sens de ces accroissements; puis par les extrémités on élèvera des perpendiculaires sur les deux rayons, et Ton joindra leur point de rencontre au point de la courbe : cette ligne sera la tangente cherchée.
208. Autre système de coordonnées, — Considérons encore le système où les points seraient déterminés par leurs distances à un pôle et à un axe fixe.
Soit A (fig* 45) le pôle, VZ Taxe, et AU la direction, parallèlement à laquelle sont considérées les distances à
Taxe ; M le point de la courbe où l'on veut mener la tangente : les coordonnées de ce point seront AM, et PM parallèle à AU. Leurs accroissements, pour passer de M au point infiniment voisin M', seront MK, MH, et seront portés dans un sens ou dans Tautre suivant que ces coordonnées augmenteront ou diminueront ; il s'agit de trouver la limite de la direction MM'.
Menons la corde de Tare de cercle KM', puis prenons une longueur fixe MC sur la direction MH, et construisons le quatrilatère MGSX semblable à MHM'K ; sa diagonale
264 ÉTUDE DES COU)aBES.
sera dans la direction MM', et aura par conséquent pour limite la direction de la tangente en M.
Or, l'angle X égal à K a pour limite un angle droit 5 on connaîtra donc le quadrilatère limite de MCSX si on connait Ja limite du côté MX, ou du rapport MC : MX qui est égal au rapport de MH à MK.
La question est donc encore ramenée à trouver la limite du rapport des accroissements infiniment petits des coordonnées, en passant d'un point à un autre de la courbe donnée.
Quand cette limite sera déterminée, on connaîtra la limite du point X5 on y élèvera un perpendiculaire à AM; par le point C on mènera une parallèle à ZV : en joignant leur point de rencontre au point M, on aura la tangente demandée
209. Remarque, — Dans ce qui précède nous avons supposé les points des courbes déterminés par des relations entre leurs coordonnées 5 et les infiniment petits au moyen desquels nous avons déterminé la sécante, se sont trouvés naturellement être les accroissements subis parles coordonnées dans le passage du point donné à un point infiniment voisin. Lorsque d'autres infiniment petits se sont présentés d'abord, nous ne nous y sommes pas arrêté, et nous avons toujours voulu arriver aux accroissements des coordonnées, parce que les points de la courbe étant supposés déterminés par une relation entre ces coordonnées, leurs accroissements simultanés dépendaient l'un de l'autre par cette relation, et la limite de leur rapport en était une. conséquence. Et comme cette relation est la seule donnée, c'est à elle qu'il faudra toujours avoir recours pour déterminer les rapports de tous les infiniment petits qu'on voudra considérer. C'est pour cela qu'il était convenable de les ramener aux accroissements même des coordonnées.
