CHAPITRE XII

arc de eercle qui rencontre AM' en I, el joignant IM, on aura un triangle infiniment petit MM^I dont les angles ont des limites qui détermineront la limite de la direction MM\ et se ramèneront aux limites des rapports des côtés infiniment petits de ce triangle.

En effet, l'angle AM'M ne différant de AMS que de l'angle infiniment petit JVl'AM, a la même limite, qui est l'angle de la tangente avec AM ; l'angle I du triangle isocèle AIM est égal à AMI, qui a pour limite un angle droit, puisque la sécante MI a pour limite la tangente au cercle en M, qui est perpendiculaire à AM. Il suit de là que la limite de Tangle I du triangle infinitésimal MM'I est un angle droit, et que la limite de son angle IMM' sera complément de la limite de l'angle M', c'est-à-dire complément de l'angle cherché que la tangente fait avec AM.

Or on a

sin IM^M m

sinIMM' "~ IM' '

d'où, en prenant les limites des deux membres, et désignant par fi l'angle cherché,

sina ,. IM ,. IM

cos/x IM °^ IM'

On peut modifier cette formule et y introduire seulement les accroissements infiniment petits des coordonnées du point de la courbe. Il suffit pour cela de remarquer que

IM la limite du rapport —7 ne sera pas altérée si on remplace

la corde IM par l'arc de cercle, dont le rapport avec elle a pour limite l'unité. Or cet arc est égal au rayon AM mulplié par l'angle au centre, qui est l'accroissement de l'angle du rayon vecteur avec AX.

On aura donc *

^^,.. M'AM langpr=AMIim-jj^-,

36a ÉTUDE DES COURBES.

ce qui ramène encore à la détermination de la limite du rapport des accroissements infiniment petits des coordon-

nées.

207. Coordonnées bipolaires, — Supposons maintenant que les points soient déterminés par leurs distances à deux pôles.

Soit M {fig> 44) le point de la courbe où Ton veut mener la tangente, M' un point infiniment voisin pris sur la

Fig. 44.

courbe et correspondant aux valeurs AH, BK des rayons vecteurs : ce point sera à la rencontre des cercles décrits de A et B avec des rayons respectivement égaux à AH et BK. Il s'agit de déterminer la limite de la direction de la sécante MM' quand MH et MK tendent vers zéro. Tirons les cordes M' H, M'K \ prenons MC fini et constant, et menons par C une parallèle à M'H, puis par le point S, où elle coupe MM', une parallèle SX à M'K^ les quadrilatères MHM'Ket MCSX seront semblables, et la limite de la direction de la diagonale MS sera la tangente cherchée. Or, pour avoir le quadrilatère limite dont la diagonale est la tangente, il suffit de connaître la limite de la longueur MX; car les angles C et X ont pour limite Tangle droit, comme leurs égaux H et K. Et pour connaître la limite de MX, il suffit dexonnaitre la limite du rapport de MK à MH, lequel est toujours égal au rapport de MX à la longueur constante MC.