a^y -\- b ((x.y 4- 6^') -H 2caa

H- e(ex, -\- x') -¥- 2./= o.

En éliminantj)^', on aura une équation du second degré, au plus, en x\ qui donnera deux racines, qui pourront être réelles, inégales ou égales, ou enfin imaginaires. Nous n'entrerons pas dans celte discussion qui n'offre aucune difficulté.

224. La remarque que nous avons faite dans le cas d'une équation de degré quelconque, offre quelque chose d'intéressant dans le cas des courbes du second degré. Les deux équations précédentes étant séparément construites, en y regardant x\y^ comme des coordonnées variables, ces deux lieux, par leur intersection donneront les points dont les coordonnées sont désignées paLrx\y\ c'est-à-dire les points de contact des tangentes chercKées.

Le premier de ces lieux sera la courbe proposée 5 le second sera une droite ayant pour équation

Sa forme est la même que celle de l'équation des tangentes^ seulement les coordonnées a^ 6 du point d'où partent les tangentes, remplacent celles du point de contact.

L'équation (6) est donc celle de la droite qui passe par les deux points de contact des tangentes menées par le point a, S, lorsque ces tangentes existent. Si ce point était sur la courbe même, la droite ne serait autre chose que la tangente en ce point. S'il était dans la partie du plan d'où il est impossible de mener des tangentes, ce qui a lieu quand les valeurs de x\y sont imaginaires, l'équation (6) n'en est pas moins réelle et représente encore une droite, mais qui ne coupe pas la courbe. Cette droite est ce qu'on nomme la polaire du point a, 6, qui en est dit le pôle. .

Dans tous les cas la théorie des pôles et des polaires offre beaucoup d'intérêt dans l'étude des courbes du second degré ^ elle fait partie essentielle d'un traité spécial de ces courbes, mais elle ne peut entrer dans le cadre que nous nous sommes tracé.

225. Tangente parallèle à une direction donnée. Soit j" =7 mx la droite à laquelle la tangente doit être parallèle ; on devra avoir

2cj:'-+- by' -{- e lajr' -^ bx'-\-d OU

(7) m[7,ay -^bx' -^d) -\-2,cx' -\- by -^ ez=io.

Cette équation représente la droite qui joint les points de contact, en y regardant x', y' comme variables. On voit qu'elle passe par le centre, quand il existe, parce que l'é-