CHAPITRE XIII. ^gi

234. Si Ton veut examiner Thypollièse où tous les rapports T croîtraient indéfiniment, il suffira de remarquer

qu'alors tous les rapports réciproques - tendraient vers

zéro et, par conséquent, d'après ce qui vient d'être dit, on devrait avoir X = Xq pour toutes les valeurs de j comprises entre jo et Y5 il n'y aurait donc pas lieu de donner des accroissements à X qui serait constant; et le lieu serait une droite parallèle à l'axe des j".

Les cas exceptionnels pour lesquels la limite de - serait

nulle ou infinie, c'esl-à-dire pour lesquels j tendrait vers

zéro ou croîtrait indéfiniment, correspondraient, dans un système de coordonnées rectilîgnes, aux points où les tangentes seraient parallèles à l'un ou l'autre des axes . cela

résulte de la signification géométrique de la limite de -

dans un pareil système.

On peut donc regarder comme établie la proposition suivante :

Le rapport des accroissements infiniment petits correS' pondants d^ une fonction continue et de la vanable dont elle dépend, a généralement une limite finie ^ ouy en d^ autres termes, les accroissements infiniment petits correspondants d^une variable et d\ine fonction continue de cette variable, sont du même ordre, Ei^ par conséquent, il existe généralement une tangente en tout point d^une courbe dont Vune des coordonnées est une fonction continue de Vautre,

235. Cette limite de rapport qui détermine la direction de la tangente est une fonction de x qui pourrait avoir des discontinuités. Si l'on considère deux valeurs de x enu*e lesquelles elle reste continue, il en résulte d'abord que la di-

rection de la tangeute variera d'une manière continue dans cet intervalle ; mais il y a une autre conséquence qu'il importe de signaler.

Soient X et x-hh deux valeurs très-voisines et F (a:), F (x) -4- A les valeurs correspondantes delà fonction ; les dérivéesF'(a:)etF'(a:-i-/i)aurontune très-petite différence, qui tendra vers zéro, en même temps que h. Mais F' [x) diffère

k ■ d'autant moins de -^ que h est plus petit; donc aussi

F' (x -+- h) diffère très-peu de j ou de — 7» et comme — /r,

— h sont des accroissements correspondants de la fonction et de la variable à partir de x-h h^ il s'ensuit que la dérwée de la fonction pour une valeur quelconque x -j-h de la variable peut être regardée comme limite du rapport des accroissements, soit quon donne à la variable un accroissement positif, soit qu'on le donne négatif.

Ce raisonnement supposant que ¥^ (x) et F'(a:-i-/i) aient une différence infiniment petite en même temps que A, la conséquence ne subsisterait plus si F' (:r) n'était pas continue.