CHAPITRE XIII

Et comme son existence dépend entièrement de la limite du rapport des accroissements infiniment petits des coordonnées, la question est ramenée à celle-ci :

Le rapport des accroissements correspondants d^une variable et d^ uije fonction continue quelconque de cette variable a-t-il généralement une limite Jinie^ quand ces accroissements tendent vers la limite zéro?

233. Soit F(ir) une fonction continue quelconque de a:, que nous désignerons par j^. Considérons un intervalle quelconque dans lequel cette fonction varie dans le même sens, soit en croissant, soit en décroissant, quand x cioit d'une manière continue, de sa plus petite valeur Xq à sa plus grande X. Les valeurs correspondantes de y étant désignées par y^ et Y, les valeurs de y varieront dans le même sens, par exemple en croissant, dej^^o à Y.

Cela posé, partageons l'intervalle X — x^ en n parties égales. Désignons par h une de ces parties, etparAr^, A^, ^3î«'»n An les accroissements positifs successifs de j^, correspondants aux accroissements successifs h donnés à x. Nous

aurons

X — x^zzznh, Y — j^o = ^1 H- Aa . . . -4- A-n, d'où

c'est-à-dire que le rapport invariable des accroissements finis de x et àej quand on passe de a:© ^ X, est la moyenne

arithmétique des rapports ~ 3 -^r'"*' 7"' 9^^^ que soit le

nombre entier n.

Si maintenant on fait croître n indéfiniment, les termes de ces rapports tendront vers zéro, et leur moyenne arithmétique étant toujours égale à la quantité finie — =^> il

est impossible qu'ils tendent tous vers zéro, ou qu'ils croissent tous indéfiniment.

apO ÉTUDE DES COURBES.

Cette conclusion relative à Tintervalle X — Xq pouvant être appliquée à toute partie de cet intervalle, il s*ensuit qu'il est impossible que, dans aucun intervalle fini, la valeur

de T tende vers zéro, ou croisse indéfiniment pour toutes les

valeurs de x. Ce n'est donc que pour des valeurs exception-

nelles et en nombre limité que - peut ne pas avoir une

limite finie ^ ce que nous voulions établir.

On reconnaît facilement qu'on aurait pu supposer inégaux les accroissements indéfiniment décroissants de x^ en se fondant sur ce que la somme des numérateurs de plusieurs fractions divisée par la somme des dénominateurs est une moyenne entre la plus petite et la plus grande de ces fractions.

Nous avons supposé dans ce raisonnement que Y — jo

avait une valeur différente de zéro. En ne s'assujettissaut

pas à cette condition, voyons s'il est possible que toutes les

/• valeurs de j aient zéro pour limite.

Or, si tous ces rapports tendent vers zéro, leur moyenne

y tendra aussi 5 et comme sa valeur — est constante ,

elle ne pourra être que zéro. On aura donc Y=j^o- Et comme il en sera de même si l'on considère l'intervalle entre Xo et toute autre valeur choisie entre jTq et X, il en résulte que toutes les valeurs de y correspondantes aux valeurs de X comprises entre Xq et X sont égales sl Jq, La fonction désignée par j^ ne serait donc autre chose qu'une

constante; et l'on voit qu'alors non -seulement - tendra

vers zéro, mais qu'il sera toujours rigoureusement nul. Le lieu dont l'ordonnée serait désignée par j^, serait donc une droite parallèle à l'axe des x.