CHAPITRE XIII

Or pour tout point de celte droite le rapport de y k x tend vers A, à mesure que x augmente indéfiniment; il en sera donc de même ici du rapport deykx pour les points de la branche de courbe, puisque leur^ diffère de celui de la droite d'une quantité qui tend vers zéro.

Cette remarque conduit à la proposition suivante : Lorsqu'une branche de courbe injinie a une asymptote^ on aura le coefficient dHnclinaison de celte droite en cher-

chant la limite du rapport — pour les points de cette

branche lorsque x croît indéfiniment.

Et il est évident que cette proposition subsisterait encore pour les asymptotes parallèles à l'axe des j" 5 mais nous les examinerons à part tout à l'heure.

237. Le coefficient k étant connu, si l'on mène par l'origine A (Jig' ^o) des axes, obliques ou rectangulaires, une droite AU qui ait A pour coefficient d'inclinaison, elle

Fig. 5o.

sera parallèle à l'asymptote qu'on suppose exister, et les points M de la branche devant s'approcher indéfiniment de cette dernière, leur dislance MI à AU estimée parallèlement à l'axe desj", aura pour limite la distance de l'asymptote à AU, et comme MI est égal à MP — IP ou à l'ordonnée de la courbe diminuée de hx^ on obtient cette seconde proposition :

Quand on a déterminé le coefficient d^ inclinaison k de V asymptote, on aura son ordonnée à Vorigineen cherchant

la limite dey^^kx pour les points de la même branche, dont on fait croître l'x indéfiniment.

Réciproquement y si pour les points d'une branche infinie de courbe la différence y — hx bl une limite/, k étant une constante trouvée ou choisie, n'importe comment, cette branche aura une asymptote dontFéquation sera

puisque la différence entre les ordonnées des points de la courbe et celles des points de cette droite, tendra vers zéro.

Pour les asymptotes parallèles à l'axe des :r, on aura A= o, y — Tîx se réduira à j^ et il faudra calculer la limite dej^.

Pour les asymptotes parallèles à l'axe desj^, h serait infini, et ce n'est plus j* — kx que l'on considérera. Mais on fera pour l'axe des y ce que l'on vient d'indiquer pour Taxe des x\ et la limite de x quand j" croîtra indéfiniment, fera connaître, si elle existe, les asymptotes parallèles à l'axe desj".

238. Remarque , — Il est très-important de s'assurer, comme nous l'avons recommandé, qu'il existe réellement une branche de courbe, ou que les valeurs de^ tirées de l'équation de la courbe sont réelles : car on ne serait pas

assuré qu'elle existe par cela seul que les limites de - et ensuite de j — kx seraient réelles. Il pourrait se faire en effet

que les expressions de - et 7 — Â"j? renfermassent, outre des

termes réels^ une partie imaginaire tendant vers zéro, quand x croît indéfiniment. Alors les limites seraient réelles et cependant, j^ étant imaginaire^ la branche de courbe n'existerait pas.