CHAPITRE XIII
239. Détermination des asymptotes dans un système de coordonnées polaires,
SoitA(Jig. 5 1) le pôle, AX l'axe, BU une asymptote, M un point quelconque de la branche de courbe, r et q> ses côor-
Fig. 5i.
données; a Tangle UBX et^ la perpendiculaire AI abaissée du pôle sur l'asymptote.
Menons par le pôle AV parallèle à BU, et par M une perpendiculaire HMP à ces lignes.
Puisque BU est asymptote, MH tendra vers zéro, etMP vers AI ou p. La limite de la direction AM sera donc la même que celle de la droite AH, et sera, par conséquent, AV. D'où Ton conclut les propositions suivantes :
I ° Si une branche infinie a une asymptote^ on connaîtra r angle a q\i elle fait avec Vaxe polaire^ en cherchant la limite de la direction du rayon vecteur mené à un point de cette branche^ qui s^ éloigne indéfiniment du pôle,
2** On aura la distance de cette asymptote au pôle^ en cherchant la limite du produit rsin(y — a) ou encore de r((f — a), puisque y — a tend vers zéro,
II est presque inutile de faire remarquer que le principe de la substitution des infiniment petits démontré dans le cas des limites de rapports s'applique aux produits dont un des facteurs est infiniment petit et Fautre infiniment grand. Et, en effet, le facteur indéfiniment croissant est égal à l'unité divisée par une quantité indéfiniment décroissante, et Ton retombe ainsi dans le cas du rapport de deux infiniment petits.
2g6 ÉTUDE DES COURBES.
Réciproquement y si l'on trouve que, pour une certaine valeur d'un angle a, le produit rsin (<p — a) tend vers une limite p lorsque le rayon vecteur réel r des points de la courbe croît indéfiniment, il existe évidemment une asymptote faisant l'angle a avec l'axe, et siluée à la distance p du pôle.
Application à des courbes de degré quelconque dans un système de coordonnées rectilignes.
240. Considérons une équation dont le premier membre est un polynôme entier d'uri degré quelconque m entre les coordonnées rectilignes x^j^ et partageons-la en groupes de termes de même degré. En mettant dans chacun d'eux en facteur, la puissance dexde même degré que le groupe, l'équation pourra s'écrire ainsi
S'il manquait quelques groupes, il suffirait de remplacer par zéro les' fonctions qui multiplient les puissances correspondantes de X,
Cherchons d'abord les limites finies du rapport - que
nous désignerons par p^ et pour cela, divisons l'équation (i) par X'", elle deviendra
A mesure que x augmente, tous les termes qui renferment X en diviseur tendent vers zéro, puisque nous ne nous occupons que des valeurs finies de p 5 et il en résulte que pour toutes les branches infinies qui satisfont à cette condition, p tend indéfiniment vers les racines réelles de l'é-
cbàpithe XIII. 397
quation
Ce n'est donc que parmi ces racines qu'il faut chercher les coefficients d^ inclinai son de toutes les asymptotes non parallèles à l'axe des j^.
Soit k la valeur de l'une d'elles •, il ne reste plus qu'à chercher sîj^ — kx a une limite quand x croît indéfiniment, j étant l'ordonnée de la branche correspondante à la racine A", et qui est l'une des valeurs dej^ qui satisfont à l'équation (i); posons
r'-^x = t, d*où -=r^-f--,
et substituons cette expression à - dans l'équation (i)^ elle deviendra,
Or les fonctions F,/, 9, . . • étant entières et rationnelles, et la valeur que nous considérons pour la variable étant
Ah — » on pourra, comme nous l'avons vu, les développer suivant les puissaces de -? et l'on aura
Substituant ces développements dans l'équation (3) et ob-
298 ÉTUDE DBS COURBES.
servant qu'on a F (A) = o, on obtiendra
af*-' F' (X) / + jT-^ ^-^ /2 H- . . .
Divisant le premier membre par a:"*"*, les termes indépendants de X seront
les autres ayant x en dénominateur auront zéro pour limite quand x croîtra indéfiniment, et par conséquent la limite / de t satisfera à la condition
qui donne / = — / ^ « On aura donc une asymptote dont
Téquation sera
