CHAPITRE XIII

en abaissant BI perpendiculaire sur AC, -— ou sîn A

BC sera plus petit que — qui, par hypothèse, est infiniment

petit; il en sera donc de même de sin A, et par suite de l'angle A, qui est aigu d'après l'hypothèse.

Quant au rapport—? il a nécessairement pour limite

l'unité, puisque la différence de ces deux termes est moindre que le troisième côté BC, et que, par hypothèse, ce dernier est infiniment petit par rapport à l'un des deux.

Corollaire. — L'angle CAB ayant pour limite zéro, il s'ensuit que si l'un de ses côtés tend vers une direction limite, soit que A reste fixe, soit qu'il se déplace, l'autre aura pour limite la même direction.

Et plus généralement, si par un mouvement quelconque deux points A et B {Jig' 54) se rapprochent indéfiniment

Fig. 54.

Tun de l'autre, de manière que la direction AB tende à être parallèle à une certaine droite fixe; que l'on considère deux points A', B' dont les distances respectives à A et B soient infiniment petites par rapport à AB : la direction A'B' tendra vers la même limite que AB. En effet, il a été

prouvé que l'angle B'AB a pour limite zéro, puisque

est infiniment petit ; que, de plus, —^ a pour limite l'unité.

De là résulte que -r^ est infiniment petit, puisque, par

3o8 ÉTUDE DES COURBES.

hypothèse, —^ l'est; donc Tangle A'B'A est infiniment

petit 'y donc, enfin, les droites A'B', AB font entre elles un angle dont la limite est zéro, et par conséquent leurs directions ont la même limite. Celte proposition a des applications assez fréquentes.

250. Triangle ayant deux angles infiniment petits du premier ordre.

Soient A et B (fig» 55) les deux angles infiniment

petits; abaissons CI perpendiculaire sur AB; et cherchons d'abord quelle serait la limite de la position du point C, qui est la même évidemment que celle du point I, si on laissait AB invariable pendant que les angles tendraient vers zéro.

Or on a

donc

AI __ tang B ÏB ~"tangA'

,. AI ,. tangB ,. B hm —r = hm — ^ = hm - .

IB tang A A

Si donc on coùnalt la limite du rapport des deux angles infiniment petits du même ordre, on aura la limite du sommet C, en partageant AB dans un rapport inverse de cette limite.

Supposons maintenant que le côté AB soit lui-même infiniment petit du premier ordre, et proposons -nous d'évaluer la différence entre sa longueur et la somme des deux autres côtés.

Or on a

2 AI sin^ - 2 BI sin' -

AC — AI = -^ et BC — BI = —^^

CO8 A cos B

et la somme de ces deux différences est la différence cherchée. Mais chacune d'elles est un infiniment petit du troi» sième ordre au moins, puisque AI et 61 sont moindres que

AB qui est du premier ordre, et que sin* - et sin* - sont

du second ordre. On peut même dire qu'elles sont précisément du troisième ordre toutes deux, dans le cas supposé où A et B sont du même ordre; car alors les deux segments AI et IB sont dans un rapport fini avec AB, et sont par conséquent du premier ordre. // résulte de là que la différence entre AB et AC 4- CB est un infiniment petit du troisième ordre au moins.

Ou, en d'autres termes, cette différence est du même ordre que le cube de AB.

L'ordre de cette différence s'élèverait si les angles étaient d'un ordre plus élevé que le côté; il s'abaisserait dans le cas contraire.

251 . Triangle ayant un angle infiniment petit du premier ordre y compris entre deux côtés infiniment petits du premier ordre.

Soit A (fig- 56) l'angle donné; la somme des deux

autres a pour limite deux droits. On peut maintenant faire plusieurs suppositions sur les deux côtés donnés.

3lO ÉTUDE DES COURBES.

Si la limite finie de leur rapport est difTérente de Tunité, la somme des deux angles opposés ayant pour limite deux droits, l'un de ces angles tendra nécessairement vers zéro, Tautre vers deux droits. Car, sans cela, le rapport limite de leurs sinus serait nécessairement Tunité, contrairement à la supposition.

Supposons maintenant que la limite de leur rapport soit Puni lé. Il peut alors se présenter trois cas. • 1** Si leur différence est du second ordre, prenons AB'=AB; B'C sera du second ordre. Mais BB' est du

second ordre à cause du triangle isocèle ABB' qui donne

A BB' = 2 AB sin- ; ainsi BC opposé à l'angle obtus B' sera

B'C du même ordre, et le rapport--— a une limite finie quel-

conque. Or l'angle B' tend vers un angle droit 5 donc l'angle B'BC, et par suite C, a une limite finie qui peut être quelconque, et dépend du rapport de CB' à BB'.

2*^ Supposons que leur différence soit d'un ordre compris entre i et 2. Alors BB' étant du second ordre, B'C d'un ordre moindre, et BC le plus grand côté du triangle BB'C, comme opposé à l'angle obtus B'; il s'ensuit d'abord que BC est du même ordre que B'C, et même que leur rapport a pour limite l'unité, puisque leur différence, étant moindre que BB', qui est du second ordre, est infiniment petite par rapport à ces lignes mêmes. De plus le rapport

— — ayant zéro pour limite, Tangle C tendra vers zéro, et,

par suite, l'angle ABC vers deux droits.

3** Soit la différence, d'un ordre supérieur à 2. Alors ~— ;•

a pour limite zéro; donc l'angle B'BC a zéro pour limite, et l'angle ABC a la même limite que ABB', ou un droit : il en est de même par suite de l'angle C.

Si l'angle A était d'un ordre quelconque m au lieu d'être