CHAPITRE XIII. 3ll

du premier comme les côtés, il faudrait, dans ce qui précède, substituer i -h m à a.

Remarque, — Il est bon de remarquer que dans ces trois cas, c'est-à-dire toutes les fois que le rapport des deux côtés donnés a pour limite V unité, le troisième est infiniment petit par rapport aux deux autres, quel que soit m.

INFINIMERT PETITS CONSIDÉRÉS DkVS LES COURBES.

252. Soit M [fig' 5y) un point quelconque d'une courbe rapportée à des axes rectangulaires AX, AY 5 AP et MP les

Fig. 57.

coordonnées x, j* de M 5 PP' un accroissement infiniment petit h donné à x *, IM' Taccroissement correspondant k dejr*^ MT la tangente à la courbe au point M; S son point de rencontre avec AX; O le point de la courbe à partir duquel on estimera les longueurs des arcs.

Ayant fait croître x de la quantité infiniment petite arbitraire PP'= A, qui déterminera le premier ordre infinitésimal, toutes les variables qui dépendent de x prendront des accroissements du premier ordre. Ainsi, en prenant pour ces fonctions l'ordonnée, la longueur de l'arc, l'inclinaison de la tangente sur Taxe des x^ et menant en M la tangente, qui coupe la première en R, leurs accroissements respectifs, M'I, MM', TRM', seront du . premier ordre.

Cela posé, l'angle TRM', extérieur au triangle MRM',

3ia ÉTUDE Das COURBES.

sera égal à la somme des angles à la base MM'; d'où il résultera que, s'ils sont du même ordre entre eux, ils seront du premier ordre comme leur somme : et si Ton supposait que Tun d'eux fût infiniment petit par rapport à l'autre (ce qu'on verra plus tard ne pas être), le plus grand des deux sera encore du premier ordre,

La corde MM' et la tangente MT seront encore des infiniment petits du premier ordre, puisque la limite du rapport de MM' à MI, ou PP^ est la sécante finie de l'angle TMI, et que le rapport de MT à MI est cette sécante même.

253. Ordre de la différence de l^ ordonnée de la courbe et de celle de la tangente,

. TM' sin TMM' , La proportion rj— 7 = — r-= — donne ^ ^ MM' smT

^,., MM' sin TMM'

TM'=: ,-^

smT

Or MM' est du premier ordre ; et le sinus étant du même ordre que l'arc puisque la limite de leur rapport est i, sin TMM' sera du premier ordre comme l'angle TMM' ; il en résulte donc que TM' est du second ordre.

Mais si on menait de M' une droite faisant un angle fini quelconque avec la tangente, la partie interceptée aurait un rapport fini avec TM' ; de là résulte cette proposition :

Si par une extrémité d 'un arc infiniment petit du premier ordre on mène une tangente^ et par l'autre extrémité une sécante faisant un angle fini quelconque as^ec cette tangente^ la partie interceptée entre la courbe et la tangente sera un infiniment petit du second ordre,

254. Différence d'un arc infiniment petit à sa corde ou à ses tangentes .

La longueur d'un arc MM" est comprise entre la corde