DE LÀ COURBURE DANS LES LIGUES PLANES

263. On appelle courbure d'un arc fini l'angle des tangentes extrêmes. C'est la quantité dont la direction de la courbe dévie en passant d'une extrémité à l'autre ; elle peut être regardée comme l'accroissement de l'angle formé par la tangente avec un axe fixe, quand le point de contact passe d'une extrémité à l'autre.

t)ans un même cercle la courbure varie proportionnellement à l'arc 5 dans toute autre courbe cette proportion n'a plus lieu. Mais quelque compliquée que soit la loi suivant laquelle varie la courbure d'arcs, considérés comme croissant uniformément à partir d'un point d'une courbure quel-^ conque, on peut obtenir la loi simple de l'uniformité comme dans le cercle, en ne considérant que des arcs infiniment petits.

En effet, désignons par s les arcs comptés à partir d'un point Ode la courbe {^g- Sg); on pourra considérer l'in-

Fig. 59.

clinaison <f de la tangente sur l'axe des x, par exemple

comme étant une fonction de s que nous désignerons par F(5).

Soit OM une valeur quelconque de 5, et MM' un accroissement infiniment petit, que nous désignerons par A; l'accroissement correspondant de 9 sera l'angle TIT' des deux tangentes MT, M'T', ou la courbure de Tare MM';

ÏIT'

et la limite du rapport sera la dérivée de F (s) par

rapport à s.

Donc, d'après le théorème général sur les accroissements infiniment petits des fonctions, on aura

TIT'=:MM'[F(^)4-w],

et par conséquent, en négligeant le second terme MM'.w, qui est infiniment petit par rapport au premier, on pourra prendre F' (5). MM' comme égal à la courbure de l'arc, sans qu'il puisse en résulter aucune erreur dans les résultats qui ne dépendront que des limites de rapports ou de sommes. De cette manière la courbure de Tare infiniment petit MM' sera regardée comme variant proportionnellement à cet arc. On se trouve donc dans les mêmes conditions que si MM' était un arc d'un cercle qui, pour une unité de longueur, donnerait une courbure égale à F' (s) : et la considération des infiniment petits ramène encore la variabilité à l'uniformité.

264. Cercle de courbure. — Il était donc très-naturel d'appeler F' (s) la courbure au point M, rapportée à l'unité de longueur, et de prendre, pour la faire connaître, le rayon du cercle qui donnerait la même courbure F'(5)MM' que la courbure proposée pour la même longueur MM' 5 ou encore qui donnerait F' {5) pour courbure. de l'arc à l'unité.

Ce cercle s'appelle le cercle de courbure de la courbe au point M. Son rayon étant le rapport d'un arc quelconque à l'angle des rayons extrêmes, qui est égal à la courbure de