MI = » NI

d'où il est facile de déduire les coordonnées x, j^ du point M, car on a

donc

.r MI

AN m '

X NI AM m'

et l'on aura l'équation entre x, j en éliminant AM, AN

entre ces deux équations et la suivante AM -H AN = m*.

On trouve immédiatement

qui est l'équation du lieu demandé.

275. Il peut se faire que les considérations géométriques soient moins commodes que le calcul algébrique, et voici la marche qu'il faut suivre alors.

L'équation générale des droites données renferme un paramètre qui change de l'une à Tautre. Soit a ce paramètre-,

cette équation sera donc de la forme

F ety désiguant des fonctions connues.

Changeant a en a -f- /i, on aura Téquation d'une droite voisine, qui sera

jr = xF(a -h à) -h/{a ^ h) ;

Tabscisse du point de rencontre sera donc donnée par Téquation suivante :

Il faut maintenant faire tendre h vers zéro, et chercher la limite de x; ce sera Fabscisse du point cherché, et l'équation de la droite fera connaître par suite l'ordonnée.

Mais si on laissait l'équation sous cette forme, elle n'apprendrait rien en prenant les limites de ses deux membres, puisqu'on ne trouverait autre chose que = 0. Le plus ordinairement il est facile de voiries réductions qui s'opèrent par les soustractions indiquées, et on reconnaît un facteur commun h à tous les termes^ en le supprimant et passant aux limites des deux membres, on obtient alors la valeur limite de x.

Mais rien n'est plus facile xjue de formuler le résultat en général. En effet, si l'on divise par h tous les termes de la dernière équation^ et qu'on prenne ensuite les limites, on trouvera, d'après la définition et la notation des dérivées des fondions,

.^F'(fl)-f-/'(fl) = o.

Cette équation, jointe à la première j^= xF(a) -\~f(a)j détermine les deux coordonnées du point du lieu, et l'équation du lieu lui-même résultera de l'élimination de a entre ces deux équations. Si, pour la facilité des calculs, on ne réduisait pas à l'unité le coefficient dey, on aurait trois

2l34 ÉTUDE DES COURBES.

fonctions de a au lieu de deux, et Ton procéderait d'une manière tout à fait semblable.

Prenoilî, par exemple, le cas traité précédemment, où les droites mobiles jouissent de la propriété de déterminer sur les côtés d'un triangle YAX des segments dont la somme soit égale à une constante a.

Si Ton désigne par a le segment de Taxe des x^ Tautre sera a — «5 et l'équation générale des droites

a/-f- (fl — ol) x=z 0L[a — a) ;

changeant a en a -|- A, il vient, en retranchant les deux équations membre à membre,

y h — xh=2 ah — 2aA — ; A%

ou, en divisant par A,

y — x=ia — 2a — h.

Cette équation, conjointement avec la première, détermine le point de rencontre, qui varie avec A. On aura sa limite en supposant A = o ; ce qui réduit la seconde équation à

y. — xz=ia — 2 a,

et l'on voit que c'est comme si l'on avait pris les dérivées par rapport à a de tous les termes de la première.

L'élimination du paramètre a entre ces deux équations donne l'équation suivante :

et qui est celle du lieu, et coincïde avec celle qui a été trouvée dans le second exemple. Nous généraliserons ces théories par la suite 5 nous nous écarterions de noire objet en nous y arrêtant plus longtemps.

Caustique par réflexion,

276. Soit F {fig* 65) un point d^oà émanent des rayons de chaleur ou de lumière, qui viennent se réfléchir sur une

courbe donnée, de telle soîte que le rayon réfléchi fasse ai^ec la normale le même angle que le rayon incident : on demande la courbe à laquelle tous les rayons réfléchis sont tangents.

Cette courbe, en tous les points de laquelle il se fait une plus grande concentration de chaleur, ou de lumière, qu'aux autres points du plan, se nomme caustique. Pour eu déterminer un point quelconque , il faut considérer deux rayons infiniment voisins FM, FM', et chercher la limite du point de rencontre F' des rayons réfléchis.

Les deux normales en M et M' à la courbe donnée se rencontrent en un point O, dont la limite est le centre de courbure en M ; et le rayon de courbure R en ce point, sera la limite de MO et de M'O. Posons

FM = a , FMO = « = OMF', FM' = w' = OM' F',

il est facile de voir que l'on aura

336 ÉTUDE DES COUBBES.

d'où, en ajoutant ces équations membre à membre,

Nous allons maintenant substituer dans cette équation, à F, F^ O des quantités, non pas égales, mais ayant avec ces angles des rapports dont la limite soit i, l'équation (i) dont oTi peut supposer qu'on ait divisé les deux membres par Tun des trois angles, ou par tout autre infiniment petit du même ordre, conduira ainsi à une équation exacte entre les limites des rapports. Abaissons MI, M'I' perpendiculaires sur FM', F'M. Nous remplacerons :

,, , ^ MI MM'sinMM'F

1 ancle t par son sinus — ou :

,, , ^, . M'I MM'sinM'MF' 1 angle F' par son sinus j^;^ ou :^rp} 5

l'angle Opar l'arc de cercle de rayon OM^ terminé à la droite

M'O, divisé par MO, ou par • Car l'arc de cercle peut

être remplacé par la perpendiculaire abaissée de M sur M'O, puisque leur rapport a pour limite i, et cette perpendiculaire peut être remplacée par la corde MM' par la même raison.

Faisant la substitution de ces expressions à F, F'^ O qui ne seront altérés que de quantités infiniment petites par rapport à eux-mêmes , supprimant le facteur commun MM', et passant aux limites des rapports, nous aurons une équation exacte entre des quantités finies.

Soit S la limite de F', ou le point de la caustique, la limite de M'F' sera MS que nous désignerons par z ; la limite de l'un et de l'autre des angles MM'F, M'MF' sera l'angle de FM avec la tangente en M, ou le complément

de ct).

La limite de MO sera le rayon de courbure R, el Ton arrivera ainsi àTéqualion

ces w

cosw

COSfr»

La valeur de z étant connue, la position du point S de la caustique le sera, et la question rentre dans les problèmes ordinaires de lieux géométriques.

277. Si le point F s'élpignaît indéfiniment de la courbe réfléchissante, restant sur la même droite MF, les rayons

incidents, à la limite, seraient parallèles entre eux; - deviendrait zéro, et l'équation (2) se réduirait à

12 B cos&>

— :=: ou Z-=: •

z R COS &> 2

Le point S de la caustique serait donc la projection du milieu du rayon de courbure, sur le rayon réfléchi.

Si le rayon FM était normal à la courbe, on aurait cosw = ly et l'équation (2) deviendrait

Les deux points F et S se nomment alors foyers conjugués.

Si de plus les rayons incidents sont parallèles, on a 2 = —

et le point ainsi déterminé se nomme le foyer principal.

Dans les cours ordinaires de physique les expériences et le calcul se font en supposant que la courbe donnée soit un cerde.