CONSTRUCTION DES RACINES RÉELLES DES ÉQUATIONS

280. Lorsque l'on a les équalions de deux lieux géométriques, on obtient les coordonnées de leurs points communs en cherchant les solutions communes réelles de ces deux équations.

Mais si Ton ne demande que les abscisses de ces points, il ne suffira pas d'éliminer y entre les deux équations et de chercher les racines réelles de- l'équation finale en j:, même lorsqu'on se serait assuré qu'on n'a supprimé aucune solution et qu'on n'en a pas introduit d'étrangères. Il faudra encore qu'à ces valeurs réelles de x correspondent des valeurs réelles de j^; sans quoi elles ne construiraient aucun point, et par conséquent ne fourniraient pas de points communs aux deux courbes.

Réciproquement, lorsque l'on voudra connaître les racines réelles d'une équation à une inconnue

on pourra former deux équations en x e\.y telles, que le résultat de l'élimination de y entre elles soit F [x) = o, dans laquelle nous supposerons qu'il ne manque aucune solu-

tion du système et qu'il n'y en ail aucune étrangère (ces circonstances doivent toujours être l'objet d'une discussion). On construira ensuite les lieux représentés par chacune de ces équations; on cherchera leurs points d'in-* tersection; on évaluera au moyen de l'unité choisie les abscisses de ces points, et les nombres ainsi obtenus seront des racines réelles de l'équation F (x) = o.

Mais il est de la plus grande importance de remarquer qu'il n'est pas sûr que les nombres ainsi obtenus, et qui sont bien des racines de l'équation proposée, soient les seules; parce que, comme nous l'avons fait remarquer tout à l'heure, les racines réelles de cette équation finale pourraient bien correspondre à des valeurs imaginaires de j^ : et dans ce cas les points de rencontre des deux courbes ne pourraient les faire connaître.

281 . Il est facile de donner des exemples où cette dernière circonstance se rencontre.

Soit en effet

l'équation proposée, et

(a) ^(xyx)=o

une équation choisie arbitrairement. Joignons-y la suivante, dans laquelle A désigne une constante quelconque.

Cela posé, pour que les équations (a), (3) aient lieu en même temps, il faut que l'on ait F [x) = o ; et réciproquement si on prend une racine quelconque de cette dernière, et qu'on la porte dans (a), les valeurs de jr qu'on en tirera, conjointement avec la valeur de x^ formeront des solutions des équations (2), (3). Donc d'abord l'équation F (x) = o