CHAPITRE XYI

donne toutes les valeurs de x qui conviennent au système (2), (3) et n'en renferme pas d'étrangères.

On peut former ainsi une infinité de systèmes de deux équations dont les solutions communes correspondent à toutes les racines de l'équation (i) et à aucune autre. Et bien d'autres formes d'équations pourraient satisfaire à ces conditions.

Or on peut prendre l'équation arbitraire (a) telle, que pour certaines racines réelles de (i) elle donne des valeurs imaginaires pourj^. Il suffirait en effet que la courbe qu'elle représenterait n'eût aucun point dans la partie du plan comprise entre deux parallèles à l'axe des^, correspondantes à deux valeurs de x entre lesquelles se trouveraient les racines en question.

Si, par exemple, on avait

et qu'on prit pour (2) l'équation d un cercle situé tout entier au delà de la parallèle à l'axe des j^, dont la distance à l'origine serait plus grande que (4)» les deux courbes ayant pour équations

?(^>r) = et y(.r,j) -f.(j:— i)(a:— 3)(j:~4) =

ne se couperaient pas et, cependant, en éliminant j* entre leurs équations, on obtiendrait l'équation proposée

dont les trois racines sont réelles.

282. Remarque. — D'après les observations précédentes, on voit qu'il serait avantageux de prendre pour l'un des lieux par le moyen desquels on veut construire les racines réelles d'une équation, une courbe qui s'étendit indéfiniment dans le sens des x^ sans aucune discontinuité, et dont

l'équation, pour aucune valeur de x^ ne donne des valeurs imaginaires àey. Prenons pour exemple l'équation

(i) tang.r — axzrzo^

et pour équation du premier lieu

qui représente une ligne droite, qui s'étend indéfiniment du côté des x positifs et négatifs, et n'offre aucune discontinuité.

Prenons maintenant pour premier membre de la seconde équation celui de I équation (2) diminué de celui de l'équation (i), le terme ax disparaîtra, et l'on aura

(3) jr — langa:=o.

Les solutions communes aux équations (2), (3) seront les racines de l'équation (i); et les valeurs de y correspondantes aux racines réelles de (i) étant tirées de (2) seront nécessairement réelles et uniques. Elles correspondront donc à des points de rencontre des deux lieux ^ et, par conséquent, leur intersection fera connaître toutes les racines réelles de la proposée.

CONSTRUCTION DES RACINES RÉELLES DES ÉQUATIONS DU TROISIEME ET DU QUATRIÈME DEGRÉ.

283. Il suffira de considérer Téqualion du quatrième degré, puisqu'elle renferme celle du troisième ; et la manière la plus simple d'y faire rentrer cette dernière consiste à multiplier ses deux membres par ^a;; on introduit ainsi la racine zéro, dont on ne tiendra aucun compte.

Occupons-nous donc de l'équation du quatrième degré, dont les racines peuvent se construire au moyen de courbes très-simples. On pourra, dans tous les cas, en faisant dis-

GDAPITRE XVI. 345

paraître le second terme, lui donner la forme suivante :

(i) X* -^px^-}- qx -h rz=o^

Si nous posons (2) Jo^=^j,

et que nous combinions cette équation avec la proposée, nous trouverons

^2y2 -4- p^y •+- qx -h r,

ou, en divisant par A',

et il est évident que cette dernière reproduirait (i) si l'on remettait x* au lieu de ky^ puisque c'est en remplaçant x^ par j^ qu'on a eu (3). Le résultat de Télîmination dej^ entre (2) et (3) est donc la proposée; et il n'y a ni solutions étrangères, ni solutions perdues. On voit de plus que toutes les solutions réelles de (i) portées dans (2) donneront chacune une valeur réelle et unique pourj^, d'où résultera un point d'intersection des deux lieux (2), (3). La recherche des racines réelles de Téquation (i) est donc entièrement ramenée à celle des abscisses des points de rencontre de ces lieux.

L'équation (2) représente une parabole dont le sommet est à l'origine , qui a pour axe l'axe desj^ positifs et A: pour paramètre.

L'équation (3) en représente une autre dont l'axe est parallèle à l'axe des x\ les coordonnées de son sommet ont pour valeurs

Le sens de l'axe est celui des x positifs si q est négatif, et

346 ÉTUDE DES COUmBES.

des X négatifs si q est positif : son paramètre est la valeur absolue de — •

Mais cette seconde parabole peut être remplacée par un cercle 5 ce qui conduira à une construction plus facile. Eu effet, si on ajoute les équations (2) et (3), celle que Ton obtiendra pourra remplacer identiquement la dernière; et l'on trouvera ainsi la suivante :

équation d'un cercle qui, par son intersection avec la parabole (2), fera connaître toutes les racines réelles de la proposée (i).

C'est ainsi que Ton construira les problèmes célèbres de la duplication du cube, de la trisection de l'angle, des deux moyennes proportionnelles, etc. D'autres constructions pourraient encore y être appliquées.

On simplifiera Téquation (1) en choisissant l'indéterminée k de manière que Ton ait - — A = o ou À= ^\

mais cela ne sera possible que si p est positif. Dans ce cas réquation (4) se réduit à

P P Le centre du cercle sera sur Taxe des a:, et aura pour

abscisse ^ • La valeur du rayon sera — -t^ y et

np -^ ip

serait imaginaire si Ton avait q^ — /^pr<:^o\ mais alors réquation proposée n'aurait pas de racine réelle; car, d'après les conditions p>o q^ — 4p''<o, px*^qx-hr serait positif pour toute valeur réelle de x, et le premier membre de (t) ne pourrait être nul pour aucime valeur réelle de x.