CHAPITRE XVH. SgS

ries. Ainsi après avoir défini rexponenlîelle imaginaire

a" ^'~' d'après le développement de a' en série, nous

dirons que cl'\-& sj — i est le logarithme, dans la base a,

du développement obtenu par la substitution de a 4- 6 y/ — i à X dans a'. Et généralement nous appellerons logarithme d^une quantité réelle ou imaginaire l'exposant .qu'il faudrait donner à la base pour reproduire cette quantité, si cela est possible^ en entendant les exposants comme nous venons de le dire. Ce sera ensuite une question à examiner, si le logarithme ainsi défini sera le même que celui qui aurait été défini au moyen des séries démontrées pour les quantités réelles.

Cette remarque peut être appliquée à d'autres fonctions inverses.

308. Avant de procéder à aucune recherche particulière, nous établirons une proposition générale bien simple, mais d'une application continuelle. Elle consiste en ce que si le résultat de certaines opérations effectuées sur des fonctions de variables a:, j^, ^5 ... a été obtenu quelles que soient les valeurs de ces quantités et ne dépend, quant à la forme, que du mécanisme même de ces opérations; que de plus ces fonctions et les calculs exécutés sur elles ne renferment que des opérations qu'on exécute sur les expressions imaginaires suivant les mêmes règles que sur les quantités réelles, il suffira de substituer à x^y^ z^,,,^ dans le premier résultat, les expressions imaginaires proposées, pour obtenir identiquement le résultat des opérations qu'on effectuerait sur les fonctions données dans lesquelles on ferait les mêmes substitutions à x, j^, 2....

La vérité de cette proposition se reconnaît immédiatement. Pour en donner un exemple, nous rappellerons que si Ton exécutait sur x çx y les opérations indiquées comme

il suit

on aurait le même résultat en x et j^ que si l'on exécutait celles qui sont indiquées par l'expression suivante, quelles que soient les valeurs de x et j^,

On peut donc dire que la même identité aura lieu si au

lieu de a: et j^ on mettait a + 6 sj — * et «' -h 6' \j — i , puisque les opérations indiquées s'exécutent sur ces dernières expressions suivant les mêmes règles que sur les quantités réelles.