DES FONCTIONS TRANSCENDANTES DE QUANTITÉS IMAGINAIRES

307. Jusqu'ici les opérations que nous avons effectuées sur les expressions imaginaires n'ont été que des additions, soustractions, multiplications, divisions, élévations aux puissances et extractions de racines^ nous avons établi nettement la manière dont ces expressions, ou, comme on dit aussi, ces quantités seraient traitées, et les propositions qui en sont résultées ont eu un sens parfaitement clair. Or on reconnaîtra en avançant dans la science qu'il est utile de les soumettre à toutes les mêmes opérations que les quantités réelles, et qu'il en résulte une généralisation importante dans les procédés du calcul et dans les formules auxquelles ils conduisent.

Ainsi on pourra élever un nombre à une puissance imaginaire, prendre le logarithme d'une quantité imaginaire, en considérer les lignes trigonomélriques directes ou inverses, etc.

Mais la première chose à faire est de donner un sens précis à ces opérations, qui n'en ont jusqu'ici que quand elles se rapportent à des quantités réelles; et comme nous avons fixé avec précision la manière dont nous entendions

qu'elles devaient être traitées dans les opérations inférieures, c'est à celles-ci que nous rapporterons toutes les autres.

(( En conséquence, lorsque nous voudrons définir une )) fonction quelconque de quantités imaginaires, nous )) commencerons par donner à celte fonction de varia- )) blés Xjj^ z,... une forme telle, qu'il n'y ait à exécuter )) sur ces variables que les opérations inférieures désignées » ci-dessus \ et ensuite nous remplacerons x^j^ s,. . . par » les expressions imaginaires correspondantes. »

Et il est bien entendu que s'il en résulte des séries imaginaires, elles seront convergentes, sans quoi il n'y aurait

aucun sens à cette substitution. Par exemple a" signifiera qu'après avoir développé a' suivant la série

{xlaY (xîaY i-^xla-^ ' '- -1- ' i^ -h . . . ,

où il n'y a à exécuter sur x que des multiplications, divisions et élévations à des puissances, on remplacera x

par &, + è yj — I.

De même sin(a-H6Y/ — i) signifierait le résultat de

la substitution de a H- S J — i à x dans la série

et ainsi des autres.

Il faut reconnaître toutefois que si une fonction d'imaginaires dépend de fonctions déjà clairement introduites, et par des conditions qui n'offrent aucune obscurité et qui servent de définition à une fonction connue dans le cas des quantités réelles, la même définition convient naturellement à la fonction d'imaginaires, et c'est elle que nous donnerons au lieu d'avoir recours aux se-