CHAPITRE XVII
Si donc on fait (xla = m^ ëla = n^ on a identiquement, d'après la définition des exponentielles imaginaires,
m et n étant respectivement a et 6 multipliés par la. On peut donc se borner à considérer les exponentielles à base e, ce qui sera plus commode; on les rapportera facilement ensuite à toute autre base, si Ton en a besoin.
310, Les opérations sur les exponentielles imaginaires se font suivant les mêmes règles que sur les exponen^ tielles réelles.
Nous allons démontrer d'abord que l'exposant d'un produit est la somme des exposants des facteurs. Soient
en effet les deux exposants «4-6 \j — 1 et a' -+- 6 y/ — 1 , a, a', 6, 6' étant des nombres réels quelconques, positifs ou négatifs; les quantités correspondantes seront
^„^ ^g'^sv^^^ ^ (g'+gy-i) , (a'+e'v/=7r
Si, pour abréger, nous faisons «-+- 6^^ — 1 = m, a' -h S' V^ — I = ^-i ces deux séries deviendront
Si on les multiplie par le procédé déjà employé, on trou-
SgS ÉTUDE DES COURBES.
vera pour terme général
qui n'est autre chose que le résultat que le mécanisme du calcul, effectué comme pour les quantités réelles, donne-
rait pour -^ —-
On obtient donc ainsi une série qui ne diffère de celle
en M que par la substitution de a 4- t^ à m, quels que soient
u et v», et par suite par la substitution de
a 4- a' H- (6 -h 6') /--ï à a-fêV'— i dans la série (i), et qui, par conséquent, représente
d'après la définition.
Mais nous avons démontré que la série obtenue par ce procédé a pour limite le produit des limites des séries (i) et (a). On a donc
c'est-à-dire que la somme des exposants est Texposant du produit des deux quantités correspondantes , quels que soient d'ailleurs les signes de ces exposants.
Celte proposition ayant lieu quels que soient a, 6, a', 6', on peut avoir 6 = o ou ê' = o, c'est-à-dire qu'elle subsiste quand l'un des exposants est réel et l'autre imaginaire.
Et si l'on avait a' = — a, 6' = — 6, le produit serait i ,
parce que le terme gênerai -^ — serait zéro pour toutes
les valeurs de n depuis « = i; ce qui montre que
a-i-êV— I
