Si Ton multipliait le produit des deux séries
par une troisième série représentant e* "*~ ^~*, il faudrait de même ajouter les exposants a +a'-|- (6 -h S') y/ — i et a" -h ^" \j — 1 5 et le produit serait la représentation de
En continuant ainsi, on arriverait à cette proposition générale que, 51 des expressions en nombre quelconque ont des logarithmes imaginaires ou réelsy leur produit aura pour logarithme la somme de ceux de ses/acteurs.
De cette proposition il résulte que le logarithme du quotient de deux expressions qui ont des logarithmes imaginaires est la différence de ceux-ci.
312. Si l'on multiplie entre elles m expressions identiques à e«-+-^\/— »^ la somme des exposants sera
d'où résulte qu'en multipliant un exposant imaginaire par un nombre entier positif m, on élève l'exponentielle à la puissance m.
Et, par conséquent, si l'on divisait l'exposant par n, on aurait une racine /t*''"' de l'exponentielle. En réunissant les deux opérations on voit que, si Von multiplie un expo-
sant imaginaire par — > on extrait la racine n**'"' de la
puissance m de V exponentielle y et Veffet est le même que pour les exponentielles réelles.
4oO ÉTUDE DES COURBES.
313. Expression des exponentielles imaginaires au mojen des sinuÈ et cosinus. Formules générales des logarithmes de toutes les quantités réelles ou imaginaires.
En prenant pour exposant de e une quantité imaginaire
quelconque J-^- X\l — i, j^ et a: pouvant être positifs ou négatifs, on a, d'après ce qui vient d'être démontré sur les exposants,
H :f^ TT -f-.
= ey (cos^ 'h- sf^ sin .r ) .
Si Ton aj^=; o, il en; résulte (4) t*^* — ' — cosf -f- v/ — I sin x,
ou
/ (cos^r 4- y^ — i sin .r ) = .r y/ — i . ;
Faisant x^ ^nt; dan$ (4), «^ désignant un nombre entier quelconque positif ou négatif,, on a
COS .r rrr I , sin X = Qy
e^, par fiiiitç^^,^ ;
et c'est là la seule valeur de l'exposant qui puisse donner Tuaité. piôur Vjaleur de F exponentielle ^ puîsqtie c'est la seule qui rqnde sin a:= o «i cos j: = 1. Tous les logarithmes de 4- 1 sont donc donnés par la formule
'\5/ i,l=2nir^ — I,
eton pourraies ajbùlêp 6 IbôtlbgârîthMe, puisque ce strsiiX simplement introduire le facteur i dans la quantité/
CHiPITRE Xyil. 4^1
La seule valeur réelle de /. i est donc zéro, el correspond à /i = o.
Si, dans Téquation (4)) on fait
X =: (2/1 -h 1)77, il en résulte
et toute autre valeur de l'exposant ne pourrait donner pour résultat — i, puisque nous avons pris pour x la valeur la plus générale qui rende le second membre égal à — i .
Il suit de là que les logarithmes de — i , dans la base de Néper, sont exprimés par la formule
/(— i) = (2/î4- i)7rv/— I
et comme a=aXi et — a^='ay<, — 1, tous les logarithmes de a seront compris dans la formule
la -k-T.n'K sj — I,
qui ne donne qu'un seule valeur réelle, et ceux de — a dans celle-ci
//?-f- [in -4- 1) TT y/ — I,
qui ne donne aucune valeur réelle.
