ExiWJsÉ stïio^iQtJE

qac la décompôsiiîon d'uïi iôiift idaiife ses parlîéèi, et la recortiposition de'ces piariîes poti'r't'èftîî'eiê' tbùtVlfe bhi citu que c'était en' cela ^îtiél'toàîsbîèWl lé^^t*dcédëè'dëô ^éomètres modé^n^sjdontîhnfe^tfVaîéntapp'rêcTefliéà^ et? ils leë oiit* dotiù'ëé islVW àssifàHx^b cbiilhife lés Retirés méihodeâ pt(^jr^i a dlriget^ Fëàprit'flèfns Tà¥ebilèW^ monstration de la vérité. Nous serions lïèutèùît diè iiëiiier qi!i<é ttfel^éfuVt^à^e poifrrâ'^'èbtttrîbtiër'à Tes faîrb Wvèn^r de ^cettb'etreiii^i^' '■''' '' r-^n-b -n .'r.,....,^ .i >'n>: ?'>.

>'^Après ài^^oîi' dxpôâé les'^Wklîl& applîCâW^^ tbùtèk'Tcs sfejetJéfesr dëîtéisohiièàierré; hb\W iS^tihs]\i^é"iiêèé^sëi^he ï&6fiédairt>t<pkt tappïîé^tîéhV^et'ftdtt^ âVBHé^y^'èTfiri^^ï'cet eflfec ks» àcàe^beà-ièè* pt^a^îfeîhlriplïë*^ ffa<4aîfés;"1a

1 W?6mW^<lé«¥a^p^f tS'ttécësiréSi%?^'é|^^ d8WTèttî de èi nature. Éllif tf^îèiïl sdfetitte de ^àl^Wnefeteii 1181^^^^^ léfe^ Hiiîi- »ëeé que l'ôft^'|>ô^sèdé'isftii<cif^^Hâ'{il^^ t^iïieiA laièlidièi^etpat^^îritiè léii^i^és'ïoî^.^" -«'>^'n -- < ^ /HRôur eoiuftiiiiéi' la^â^îtiÀ^ë aès^^6inBi%*s ètf'èéHé^dër^Ôidae^î nous '«t^â^» dôtkt ïdfr «a^àib^a-'fiièf-^M 'éilaclëiHètft'la natuf e d^s ^rtdtobi^s tt de ^tWdtfdtfë;^ qtîèilolïiè^^ leè \i>W'ûe te» ^àéatithom eti (^iééûV '<fes^ t^bii^éqiîencféb' tfééë'ss^ï/iés. G^i ce ^\wé6ué»^i^HaAVi ètf *n'admetfaWt ' ^ue 'tfé^ idées e« des propositions *^i étrdenïëi' p6*ar tôiis 'les hèïnmésj^ët si intiÉnemèmljé^s* ant îniprfeséidrti ^ùë léi'èbjét^ èkt^Wetrs produisent -^Ài»' teurSM^h^^ q[i^'îl''lfeW '^éttiBlé liripi^^ible d^élever^léiftoîiidre^îd^le'àlë'iïi'é^ai^'.^^^^ ' ' ' ' ' "'^

,;ii.| -.^-iv :^..'i 1 iSGÎENCE-©ES'<WOMBRÈS. ■" ■■ ' "•{••<'

'Notts'nbliè sônïîrtê^S d^ abord b'ccupé OXclusîvemenf clè'la sciënëé dfesf ttfthibréiàVq^î eVt cfelle qui etiiprunté aii monde cxtéf îeub îë inbiès de ^ônnéèl^ pîi'eniîèresl Nous avons ra pi -

dénient passé en revue les questions relatives à leur no* nienjclalure et aux opëratioJKXS les plus simples auxquelles ils peuvent donner lieu.. Les procédés* d'exécution, de -ces opérations se foudent jimnédiateiitént siur la décomposition 4es nombres adoptée dans la numération^ et c'est par caoaéq|ieDt.l!applicatiQn.dtt premier moyen iodiqii^ par la méjtlfode apalytiquck . /

Extension deri(iée d^ nombres, rr^ Nous avons bi/çntôt senti la nécessité de donner de rextensioniàt J jdée. de f^mbrqi<ivài jn'aidu^^ri^id'aJb^d qne/çelledelàf/iui^ttHté» Cette exte^sioQ. ,a pciur ohî^^ (le,P€4uir^-:âb)Un6 seule iplu- . siçurs proposUions qu'^Qa éiai,(>pbHgé< d'énotH^eriséparé- ^ment. Il y a dpnç d'^bor4,^oiidîfiiçati0n 4An^:la stiieiliee; mais il y a ç^t autre a^fin^a^ qu€| ç^tt^.giéoémliiiationi^ns,mç e^,.r,appel}q,à l'^^nt 4e8.^walç^<w^\i^aanue&;<6ntre ^ jdes cl^p^ qy^l ^q présen^faiç^t d!f^bar4rÇ<M»li|e^Nisolées\A\y ' .^. To^Mïfpis^,çiçf 9:i(aniages;>ne<speuyi9i^,Àtfi«['a<(fciUΫs^r|la ^çule pxten|»ion^ d'ji^ 4éiSjai^i<oii| , il lest^ jn4i$p^sa[bl!e de< repfeTidf ? Xpujtesies iprQpp/iitioiii^ é|abIie$:id'Api^s la première conception^ et dejçs.é^udjicr^t'^prè^ la >nouiv0llei <i'efti>?cc q^^;nQus,jaYP^ f;?ii^.^^f^, grawJ^c^nJ e|încMft>avottè^jugé (d^^utç^m plus nécçs^aiii;'^ d/in[sisit^ siMrijce foiçit^qiue la plupart'dçs pt^YJT^^s r^'éqiç^t^^r^s .ne, le ^lutcMït pt^s.aMCCrla rigueur nécessaire,. .çt,qve,,|4M»' tardk trompéslpsu* l^feœploi dei sigiçi^es généraux,. le9avUeu^s6e6ablen|iAdm»e4{lre oocnine vraîe^j .d^u^ tous l^ cmsj.dqs-plo^^poritiontf 'Qf^'ils «?i'aVaient (léniontrées réçlleme^t que dans, les cas l0s,plu9!«îfi%plès*4' . fi^sqlutiqn qnaly.fi{jue;'4^ qu^^l4fitesi<ptokl^^ avons ensuite résoliu,jun. G^tia^i.i)tO»i3(ibreldérpipblèmes de faire reconnaître sur des exemples faciles Temploi des méthodes générales ^exposées > dand^ la première partie de cet ouvrage. L'analyse, qui eait la seuJe^iiîétbQde.d' invention, est cçlle dont upu^iavpns fç^it usager;, f^i^isl^o^s^avons procédé tanl6( par déduction^ tantôt, par jpéduption, en

ayant toujours soin de discuter la réciprocité. La première marche est plus souvent employée; il est ordiuairem^it plus facile de déduire une proqpOsitiond'autresi supposées connues, que de découvrir>4eqiiéiles propositions on pour* rait déduire celle que Ton désigne; "mais si Von démontre la réciprocité) on «ajr ri vie atimèihe ^int par les deux procédés. Si au contraire la réciprocité n;'a pas lieu) les deux procédés conduisent à des conséquences différente^ : la question substituée à la proposée contient, dans un cas, des solutions étratigèfesi, tandis quëf dans Faùire, il y adessfolntidnspetxltiesi. ■■^^ ,■■'.>■.■ \ '

Généralité. -^ Nous nous sommes' occupé enfsui te >des moyem d^obtenir la généralité, âbitdana la^olution des problèmes '^ ) so4t dans > la ' démonstràtioi^ ides thébrèmesi L'avatïtage obcenuainàit pour' les {)Poblèmes est dt dispen** ser de-feeominenoér les càl)Qula(poiir} chaque iKM^reau /cas particulier *y m'ai8)Ia ^généralité dfc^ tlft(^rèmes est dlune.nécesM té absoliic!, puisque, t «sans c^lat, oii n« pourrait leç appliquer mètn6<i des cas parliiicu)ier6» et surtout s^il y-aMait àe& nombres ineonnus; car toute vérification sur eux. sei^it impossible.'^;- ■■■ ». M.r- ■■••'';«. ii -, .r ., ro ^ii.t

Nous> avons dit«quey poun obtenir la généralité dans, les résultats de toute quesiioa de nombres .que. d'on sait :Lé* soufre aur désdoni!iéesi.partîonlièreSi,< il: suffisait dereprér senter les nonibres donnés par des lettres^ et d'agir comwie on lé ferait sur de^: données parliculièiresv>leâropéraUdns, qui ne pourront alor» qu'être indiquées^ conduiront à, dés résultats qui ne seront euix- mêmes que des indications d,*opérations^ au* Heu d'être >des nombres comme 4^ela aurait été dans le cas où les>données< 'auraient été< des nombres particuliers.'-' • •■ «:■•'• :■:.••.'<•: ;.., • ,i,-:

L^emploi des lettres^ ou mémo d'au très isignes.arbitraii;e&, don;ne dobc Ui généralité eafaisâuHconnaiti^ quelles 4>pé«rations connues il faut effectuer :siirle6 données de tout cas

particulier, pour obtenir le j^ésultat correspondant; *et les signes employés pour indiquer ces opérations 'donnent aux expressions le pl(|s haut' degré possible de.simplicité., .

Une pareille indication se nomme, fojttiide^ t)t. les, solutions générales de toutes les questiona. de nombres ne sont par conséquent quej des: fornuiles«; , ■ ^ . . . > < ^ .

/iLà nécessitédea résultats. généraux ^e fait s/&pti 1*1 dè$ le conàmencement^ et n'a pointiéebappé auxanoi^isf Ils < ont résolu des problèpiesl et démoniré des tl;iéoràmes(}<une n^anière générale. Mais ils désignaient les>;noni3>res par le rôle qu-i^ls jouaientdana U questieny et sans av^cAi: m^mo de signes pour représenter le& iDpérations à eflectuer' sur 6ux. Il résultait delà que leurs. énoncés ^taieilt quelquefois diune gi^andé difScttlté^à <idniprrendre^'€t Jes solutîcynâ outles/dév mon&lrati'ons enjcot^e plu» îpéni&les à isuivrei.)G.-est au point qu-on ne peut s'empêcher dci^ penser ^a^ils> employaient pdur €e& recherches dés notations-plus simplds^ analogues peut-être aux nôtres, et qu'ils n^ se servaient de-J'écrîtiire ordinaire que poiir m eommaniquer aux autres. Ins-résul^ tais. Dans tous les cas, la comparaison de nos precédéa ifvec ceux qu'ils nous ont tt>anistnis est trèfr-utile à faire, pTour montrer cotnbien 1ers' raisonnements i et la sucéessâon des idé^B soîit facilités ou obsidurcisy suivant lé choix des signes destinés h représentei? les choses ^efe rieurs rapports • ^^■

Mais rinvention dé ces signes y ^si importante qu'elle soit dans la science des noipbres,' ne constiéaetpas :une science à part 5 c'est un progrès qui» n« pouvait se faire ^ beaucoup attendre dès qu'on a commencera s'océuper! de cette science poiir elle- même-, car les anciens eùhif aient isurlbiulai géométrie et ne se proposaient de problème de calcul >4t»e pour résfoudre des problèmes de géo^mé trie. Âinsi^Archlmède a tlécouvert la formule de» la somme des- termes )d«' la progreésion géométrique dont-Ja raison est i^ y pour servir à la quadrature de la parabole; il a donné la formule de la

somme des carrés de nombres en progression arïlhméiîqu ayant pour raison l'unilé, en vue d(,* la quadrature de 1

[ue

quaarature ae la

spiraje, etc. Il se servait du langage et de Técriture ordi-,

naire, et la diificvilt|e qu'on éprouve à le suivre eàt un des

i- ■ ^ ■'• '• ^=; •• •'■ i ' ■■■ ^^|-i ■•■>'>. ' • 'i ''"-^ ■.,>; - V- ... plus trappants exemples que 1 ou. puisse citer- a 1 avantage

des notations des modernes. Mais sil on voulait partager la science des nomJbr^sen deux autres, 1 aruhmeiique et 1 alrr gèbre, la première traitant Jes questions particulières, la seconde les questions générales, dansriaquelle metlxail-on les iormules d Arcnimeder Ce serait sans doute dans la seconde: on ne ferait donc pas consister falgepre dans 1 em- . plordes lettres. Mais si c est la généralité oivon prend pour caractère de 1 algèbre, il faudra y renfermerc tou$ «les iheprèmes de 1 aritbmétique qui n ont d existeiacc quer pailla généralité. Celle division de |a science des nombres fn^st prOfbre qu a empêcberceux qui commencent de comprendre 1 esprit des théories et la ^lanière naturelle avec laquelle! on a procède à Icfur formation successive: nou^ nous soii|-, mes biQu garde.de 1 adopter, et nous n en parlons ici que 'pour expliquer les raisons que n,ous avons euesd agir ainsi. .. ' , s- •. -t / ■

/l/z5e e/i équation. — Les probiefiies que nou^ a[vons choisis comme application des.méthodes £:eneralcs ont tous

été ramenés a d autres ou il s agissait de trouver un nombre qui satisfit a une çertaii^e relation d égalité. Cette subslitution de questions est de la plus grande utilité, parce qu on a des, règles générales pour résoudre ces dernières quajid r inconnue ou, les inconnues^ s il y, en a plusieurs, r^ y en-

irent qu au premier degré. , . .

..u.-..- -ix ^!i ' ii!v-.î ^.li !. -.j'- ' Mf '■'»■»'■ ' '^ ' ' ■ -i' •'■•';'". ■'' Cette transformatiQii de la question se nomme la mise en

équation.

On y parvient en Indiquant sur les nombres connus et

inconnus les operatipns par lesqu^llçs on vérifierai i si ces

derniers conviennent a toutes les conditions du problème;

EXPOSÉ SYK OPTIQUE. 4 '^3

ce qui doit pouvoir se faire sî Ton s'est bien rendu compte de ces conditions-, cette vérification conduira à des comparaisons qui se transformeront facilement en équations. Or, soit que Ton procède par déduction, soît par réduction, en partant des conditions mêmes de la question pour arriver aux relations d'égalité équivalentes à ces conditions, cVst toujours la marche analytique qui aura été, suivie. Mais cette éqùivaTénce n''à lieu que s'il y, a réciprocité entre lés questions substituées successivement les tvnes aux autres. C'est ce que l'on doit examiner avec le plus grand soin; et si çeité réciprocité ne peut être obtenue, si ibviles les conditions de la question ne peuvent éirç exprimées par les écjuâtiôns, il faudra tenir compte des spliitîons étrangères ou des solutions perdues. . ,

Jiesàiulion des equaUons aii^ premier degré* — , x'our avoir la resolution générale a équations du premier degré renfermant un nombre quelconque d*inconnues,i[l suffit, diaprés ce qui a été dit précédemment, de représçijteir par des lettrés tous lés noinbres connus qiiï entrent pans ces çquations, et de suivre la même marche, toujours analytique, que si tous ces nombres étaient particularisés. Un aura ainsi des formules applicables aux cas où ces nombres. auraient des valeurs quelconques 5 les équations proposées restant toujours de même Jorme, c est-a-djre conservant aux termes correspondants Içs mêmes signes que dans les équations d'^àpres lesquelles les formules ont été détermmees.

' Généralisation par tes quantités négatives introduites daîis les données. — On serait donc obligé d'avoir autant de formules quMl y aurait de combinaisons dé ces signes, et ce nombre s'accroîtrait très-rapidement à mesure que le nombre des inconnues augmenterait; de sorte que l'on devrait réellement renoncer à représenter d*une ' manière complètement générale les' solutions des éqiiations du pre-

Jf,

4*^4 EXPOSÉ S¥!rO*TI<3^VÉ/ ■

mîer degré'dans lesquelles le nombres idesinconnues^erait supérieur à iroîs, et même à demc.'. • >' ;

On a donb dô ehciflier à remédier k tout prix à c^t inoonvénieMv et«pous arons feît voir cotnmeflt oû y eîàt parvenu par^PiiiitroduoiioTi dés quantit<(s^n^iived dai^â I^s donnéesjîi&pusjavotïsdëmœitréqu'Gn tiétprmmkflt les for mules desîîpeoRitues' d'à près une corabînayofi, arbitrai t^mem choisie par- les signeà des fermes des dîfféreiites équations, onaftipait ainsi utK type d'où l'on pourrait trrer les' formules rrielatives^ toutes lescombiniakotïis po)s$ibies ide>s^ signes de ceftermes^ eni Regardant coi^me iibp4iditement négatifs les Coefficients diss* termes qui btit tchai^gédé sighé par rapport <a da eombioaison primitive^ et exéourànt lés opérations sur ces quantités négatives i^iéesnstiiivi^ntle&' règles défnontroes dans la muhiplicatibn.ou ta di^rim^ des

polynômbsc 'i -(n.b '»i«'..i i ri.- ■<■ ?• y. :.; *| ■fî '•'..î-i-i • ;;:?.>'■ -

Cette dëmonstratioQ ^antfaijbe rigoàr^isèment^ ^itsfëbl sysèèine de formulée pour l^sinconimes suffira ^poprtÀ mes les liombfnaisèHs^ die» signes des -^termes «des équations^ don 4^^' nées ; et il faut bienremarqtier qiié la manière d'effectulpi:* ces dpérations sur les 'coefficients positifs fOu négatifs ntst qu'un' procédé' cpramède pour obtenir lesi^ésultats qiie l'oit chtarcheymaris qn'il'ii'y a atpcunsens'à attsicber à cesô]^«J^ ratiéns- en-elles-mêimes> G'estieseul moyeii ée rcnferme*r tous ies systèmes de formules «n iimsetil, et il faut l'en»* ployer ou se priver de T avantage immense qu'il procure^* et que l'on sentira de plus en plus 9' mesure qu'oH avancera i'- '■ '■ i'.' • . • — i . ' . t . . . i . * ^ ( • ..■,«. , ; ' ;

Il sorait^doiic a^bsurde de ch^cher à démontrer «ces règles sur les quantités négatives isolées^ et considées il priori); puisque les procédés que ' nous» venons -d'indiquer nie sont pas pas véritablement dès opérations surdes<qnantités|, maik des moyens pnlécaniqneS'd^ dédriird divers- systèmes de for^-' mules d'un^etil, quiest un type nnîqtre corresjK>^ani à

EXPOSÉ STMOPTI^UB* 4-* 5

une forme convenue des équations données', que Ton bhoisît la plus simple et la plus facile à retenir.

LMutroduction des quantités négatives daûs les données sert a généraliser bien d'autres. formules que celles des inconnues dans les équations du premier degré, et nous eiL avons indiqué quelques autres qui suffisent pour faire sentir la fécondité de ce procédé^ dont les applications fréqweti les n'offriront plus de difficulté, parce qu on aura, bien compris que ce n'cfst pais parune pure convention, ou par de vaguea considérations à priori qu'on y parvient^ mais par rétude des questions en elles-mêmes; que tout ce qu il y a de facultatif est la volonté de généraliser, mais que le moyen d'y parvenir est nécessaire et unique, et exige uue démonstration. '

Des qkantùés négativ^esse présentant comme solutions. — Toute chose ne peut se présenter que dans les données ou dans les résultats des données. Nous venons dé considérer les quantités négatives dan^ les données des questions, il nous reste donc à les considérer dans les résulta ts<

Il est d'abord bien évident que tout ce qui est produit par le raisonnement ne peut dbhiier lieu à aucune difficul(é) si l'on s'est bieil rendii compte de ce que l'on a fait. Malheureusemetit on néglige trop souvent de s'assurer s'il y a réciprocité entre les quefetions que l'on substitue les unes aux autres, et alors on peut trouver à la fin des solutions étrangères ou des. impossibilités qbi ne isont pas dans la question proposée. Quelquefois aussi, lorsque lai réciprocité a été complète, on rencontre des formes singulières^ des indications d'opéra tionâ absurdes, auxqiielles on cher* che à donner une interprétation, tandis qu'il ne faudrait en conclure que l'impossibilité de la question .

Lorsqu'une question est susceptible de présenter plusieurs cas à peu près semblables, il arrive quelquefois que l'on en choisit un pour établir les équations, etqu'on'omet

mème3 équations. Il let^. résulte iquio lés foraiBles obteiiUesy et .que Ton crpit à |Loi;( fipplicabljs» àlousJes eas^ peuvent indiquer des Qpér^tiçu%$.|iD[ip9Mibk»>'eQ4nnkede sousiraire ui;i plus grand ^oaibr^ dLui) pijU9i|>Qtit(vAiiliqudeTemonter à la q^eftioj^ ^)la-pi$9)QtpqArr4t9.blîniles.ivéritâbIeàié^ tiotus qi^^ ,cq](ii;iiçm^^(, .^lU ,pa^ jqni : ]t^éâ^iite| «ces ^absurdités, il a^fiYç^ouvjen^/ju'qq çl^^clife i itite^ parti de-opsfonwcs^ éirangçç, qpi pfi^eQ)l <}i^«,raippQr>U|)Séduisant$ aHOcJesivéri*^ tables résulials, comme, par exemple, la forme négativ^e corre^^^da^t; àj.Vj^ cb^ng^9i^.n^i4eifi«nt$^(Ët .on^-eh peut vçnir f^ip^î^ 91 rçgaf ^j^r^ . à » V^c^ /Çf *u cprj^spopdancseft jcofmaie adflÇïissJJ;>Jçs . à prÎQiia. , MNft<^k tlvC'ih iPf^jfikJ îfftciJfltd'tntrofliiâre ces.fQrflyjçs.c^tPïnpu^iv, iftpy^fli.diJDgéïlérfiiilisalital i-îgbttrôUM sèment oémontré. ,r-uti.r --i! ^m»? »3 }U!ï)}'\\nu>-[r ■.

ÇJ'ç^l;„cîe,;qu^= H^ji^.i^yjçnj^jfoU ressof-lin direeîcbcaucoàp d'if]^{5tftpp/B., J^piJsp^Wjfn,^ QW/CjÇft^Ady^ii)tidei ccwmmeimieri le c;^lputqif€} I^oft dpît^,^isliflgç}^,^ppfe lçfli黫/!qiie «)Mpanfi la q.^e§UOQjK a j^fEjc^oftgaÎJre iMlfi)i«(iattf ï:«tofeinnéaydbàiMoun,i seu)[ système d^^^/jpa^^pns.tft'â) ^^i?ft«àiaii>fflr«ioj«ett} sy^ièmei de i fprfli:u\ç^,s^(6^^^j ppwt . t$i!lit^4 Jé^ âOlflîài w«< iipâà qvcA'ieÊ^* Sil,çn çst^i?^tricme^Jj,im#i^ q*^ ^m^Sij^i^»^ jdlé^uaUons soic^^l ipjp^qu^pia P^,^f/^,,dp :IfM^,«jj;ftUlre içoiicWngèantide signe; A^s ,|^rjijiE}f pu iiii/^ i^fipj^nuQ t«^i tendre la deà pijwsislancesr inip^îr.es,(qt iïug,J,'qi^.ç§rt^, f^pfinjqri en di»aiit qUe Vmki change x en — x, en suivant les règl^^içft 8igi>eaMia|ns la^ pQ)ynô)ueaf),,Qfî,iri^<^^,^aii<ty^^§nLisu]v<!^^^ calculfr dans, les deu^jsy^fèn^e^vq'ViQ.lQS équations cû^rçspQndamles.ne dSffélerwt, J'mije A^, J.'autjrejq«e pjapiç^^Bième «hpngementi, <it que par conséquent la valeur de x lirée de Funij&enraidi»!}'^' liquq à/Ja^aJ^UÇMd«,>r-T^.«..tîxéç v^î^ J^ que

si Ton irouYQ dftns r«n jr;=;=^.<!P>vQ»^ï*<>^vera .dans-J'au^fe X :=^ —--a^M vice <i;e;y!4v\Onxp^ut donc ae dispenvser de faire leS; de^% caIppU^ ^ «ar.^l . «çluiv qu'on .^ choisi donne

EXi^psé SVNOPTIQtJE. 4^7

pour «ne des valeurs de .r un nombre résultant d'opéra lions possibles, il est inutile de faire l'autre qui donnerait ce même irambre affecté du si^ne — ^î et renfermerait par conséquent des soustraction^ "impo&àibled. Et si Ton trouve pottP'O: une expriessîon négative j on srail qUfe ci'est l'autre cas 4ju'il fallait cboîiir; et Ton^connait là T^kùt tiè Î2C c[ui y .convient^ puisqu'elle doit t'tre Ic' noiribrié itiêtile (^ùi a été traiATé,;maîs pris en valeur abteoluè; Lfc*s"mérties'râis6hT](emantô' peuplent être faits quel <]|ie' soif le nkiWribi^ des iii-

connuesii •■».(■• ••'{!.•''. - ■-; .î- '• > .--•'•'■ ■••=*"

:iCe^ diecussiotasétaint faites .'àvànt de eotninètî(;^^ lès calculsy'et 46ut>oé q«ii peut- arrrYè^ étant ^révii,' l'es'i^él^îtât^ nesupprondront nullenà^nt,' et les formules pi^oV enfant d^tt'h seul calcul fefO»tJ<K>nnaltrésâttsf'd5fflirtiltë^béllès'^<5['àî correspond raient à tous les autres. ..nihJiïîu'i rt. '.,1 • .Koufr4i»voiis choisi pour'exéfi'ipk'nti prëblémél'rè^srthpre, dontMlesoAS^ extrômemënfl vaHé^j pttoVièiit' è{re'Wnïfertiids darisxifiiiii'^eul' système! d^ë^jitài'îofns, quî' s^ gëhër^àlî sent 'par la< considération ides ValeursinégàtivëéVl^tift 'poui^^'W^ déhnées^que pour ks tncôiVnué^: béfiis «étté^éitiôVr'il'y à'à coœidéftetrlés^kîotleinîtikle^idfè'dëUtfpicyîâ^^^^ senfr de leu^s momemetits^^t h gfattdetïf dfe lèilits -i^hesâci' : coi quit donné li«a à beaùcOujV'de corabïrtàièbu^difïek^enie*', pour lesqoielles il faudrait 'authnt d^farttititefedi^trnctès pour ftiife connaître l'époque et'la|)Odîlîon' <fe leur côïheideriee passée <Mi fa-turcJ;-''^ '-'^ i>!>.vrii-; .;-. . >. - •> . i .•..=^--t:

La'discuksidn^âr laqu^eile nous ^ous soiliittès Htf^ "âtèc tout le soin ei tous les détails que demandait Une question prise comme prcmierexemplf , iï<>us a corid>>rt à la ^roposiiioh' suivante!; • ■"'' » '^- ■ * '■ ^ •'■ î'^'-'r*^" » ; '•

«5fV un point se meut uniformément suriirie tighè donnée^ depm's un temps indéfini ^ on peut représenter par'ùnefor'mule unique sa position par iàppoi^ à une origine fixe prise sur cette ligne y à une épotjue an téHèure où postérieure

à celle {fui est prise pour origine des temp^y aiix conditions mxsftintes : \^ que la lettre qui représente le ipmps soit regardée comme un nomhre lorsque l, époque sera d^ans Vùn dès deux sens, par exemple dans P avenir* par rapport ^ à' P origine des temps ^ et comme représentant un nombre' affecté du signe — lorsqu'elle sera, dans le sens opposé; 2° que les leftrès qui tepi'ésentent les distances ^ initiale^ ou variables ^ a V origine prise sur la ligne, soifçnf regardées conime de simples nomf)res d^un côt/é de cette Origine et comme desiiomhtes affectés, du signe -^^ du côté opposé; 3** Que là lettre aui représente la vitesse suit regardée conime un simple nombre quand le inouuement à' lieu dans iin sens^ pjar exemple celui qui a été choisi pour les distancés^ et cofnme un nombre né sàtif quand il a: lieu eu sens oppose , * ^ , . . .

Et 51 n*y a aucune règle de sig^çs à déprionlrer, puisque la général isatiou n'a été établie qu'à la conditioil expresse qu'e^ ces quantités négatives géraient traitées suivant les i^èôTès des signes dans les polynômes, seul cas où ejijes aient un sens. . . . r . »

b\\ on a plusiei^rs poipts^ le mouvement de chacun serfi déternaîné généralement par une seule équation, et toutçs les circotistances que peuvent présenter leurs positions. relatives, seront représentées par des formules générales.

' Ce procédé de généralisation s'applique aux questions lés plus variées \ les exemples que nous avons donnés^ suf- 6sént pour le. bien faire comprendre. Son importance ^ thaniféstera surtout. dans les applications du calcul, n la géométrie et ensuite à. la mécanique; mais il^ne faut pas oublier que dans toute nouvelle question, .le droit de l'employer doit être démontré avec la même rigueuç q\ie dans lés premières théories à l'occasion desquelles nous l'avons fait connaître. t

Expressions imaginaires, — Les équations du second

degré présentent daDS certains cas des formes singulières diflTérentes dç celles que peuvent présenter les équations du premier degré. Comme il entra des radicaux dans les formules auxquelles elles, conduisent, il peut se faire que Ton soit amené à l'indication de la racine carrée d'une cxpresr sîop négative; ce qui est une» impossibilité auirt; quecyeUe qui consiste .dans une simple expression, négative. Après avoir montré Torigine de ces nouvelles formes qu'on appelle imaginaires^ et c^mment^ il faut. entendre les opéralions à eflectuçr sur elles pour qu'elles satisfassent aux équations d où elles proviennent, nous ayons montré comment elles pojuvaient être, comnie les quantités négatives, un moyen de'généralisçr des formules. Ce n'est qu'en Jes employant qu'on peut, par exemple, énoncer cette proposition générale, que tout polynôme entier est décoi^po^able en alitant de facteijrsdu premier, degré, qu'il y a d'ui^tés dans son propre degré. Ces expressions imagi paires qui se présentent d abord comme résultats, et satisfont aux équations enfles traitant suivant le^ mên^s règles que les quantités réelles, peuvent aussi être utilement introduites dans les données, même à la condition de les traiter tonjcpirs de Ta même u^anière, et donnent lieu à d^s transformatippâ et des découvertes importantes. C'est surtout r^ppliçatiçm réciproque de la science dias nombres et de la géométrie qui met en évidence les avantages de Tinlroduçtion des imacinaires, et nous les avons fait, ressortir avec tout le ^ soin que mérite cette métbo^e, si bizarre de déduction et d,e re-r c^iercVe : méthode aussi sùrc que celles qui n'eniploient que des quantités réelles'; dans laquelle tout est déniontré avec une entière rigueur; sans qu'il y ait rien à demander sur la manière de calculei* ces imaginaires, puisque la manière de les traiter a été une condition expresse de leur introduction.

Par la manière dont nops avons introduit daç^ j^ calcul

les expressions négatives^isaléBS); cl avoiimisr ou nba à des radicaux daisecond diegré^.il n^y avsit^ comme tieo^rirYeiis drt^ aucune rè^adéfiionfifierpoiir les opératnyns (|ue'rbn pouvait avoir â exécuter suinellesv Maïs plusieurs gralids géomètres out pensé autrement,' et twrft crti pouvoir démonlr.er ie$ règ\f iSi d( priori^ et détermÎTier le r«rt*g que lës'quautîlés négatives devaient occuper dans l'échelté dèlïgrâii- ^deur^r Su^îtCe deppi^i" point stmotit ils ne îs^' s6tf < pas ^çcpf4és; Lqs uns >Glnttvoulu^«{«i'ellie$ fussent' con;iîdêréès çpinmeplufiîipieiiteçquje zir&^^es^mite^fi^'^iii rrfusé^i*Ces içjées lappuyées des noms det'Li^ôJéepd'^AIénAërt, Ga^tibt, i^ou,^ ^ç^t pqiriii méfiiter ïuueiéfatatibh ^i'aîsbiittéè, é't 'iioitià fen avons faitlîobjeld'ua chapitre sp^dÎÉlh*' ' • ' ' ' ' ' ''■''' . /^JS^iennotii éonnesSy^auT^ ' ^ir)^|:>f»t/ïfirVi^**iièS 'ëx^Wants àipf^i Dt^ç. dlî^lwîdofiaii rOesca rt8s<^our AtkpW fife^ l^€rfrpt*è^^ôn . 4i;,îpiwJuU 4q ! faqteuns ^ égauBCif • t^pwavtfîéttl îêlJrè' tf ttll'tq;ûe . ,dç^; jjiQpibf es> »ei|^4iera. ^ lies 'muItiplt<3ationi$ 'et ^^ 1^ dpjspw^wiwîes d^un lUi^me lioinbi>c!€|«fvécîuréfflfelll à'dfe.VàdldijtjafiStetdQs jspuftlirQCtiéii^ sur lestsxp^àntsj lés'élévàlîotts jà d(e nou;y^|l^.pui8saaoeè'se•faiisa4elAt pa'i' »là MuUij^li^tfdn

^quand elle ét^itîpossiWbr.Mdîs^sî^eS'expofîiah'tsMét^^^ détec^pés^ e| ;qu x>n jgnér^t lequel est le ^nàgf^h'd^^j* eu si Ja dilKisjJ>iIit4'^ftt pQssijble par le degi'é !de i'à racînë/tori ïie ppuyailiiappliquerces règles- de la divîsïoii oh de rékli^t- 4oii d^6 racines ç car «eile^auriiientcôndlïit dans rùn^dé-ées cas à ua.;e?(po^nt.i>égatif^' et ilans^l^autrë à un exj^knt fracûonu^^xe. H\élaît donc natUrd de cbet^hW"a Véttiedîer ,^.ç;etl|e îq>per(eclion^<et5C«Bt cIb qu©>Pon la fait lén don'tfifnl junoi^doub^ extension aux exposants^ et les confsidéràiit conmie ppuvanti être des nombres quelconques^ posîtifi'ou i;i^galifs«Xa définition plus ^^nérale à ;laque!lé on -a été ainsicgnduit offre Tavantage de représenter pirûtie même notatienlesipuissanceis et lesracineà, ainsi que les récîpro-

ques des unes ou des autres. Par ce itidyéit une seule formule en remplace filusieiirir; et db plus il y a, comme dans toutes le» généralisations, agraiidisseOient pour Tesprit, puisqu'on lui 'fait don naître aimif ïe^ tfxkftlogtes qui existent entre des cliose» qui «embèsNmilf iiio^éies, et qui ne sont que de3 variétés é^nmtaMne'chme'h laquelle il isiiffira de s'attacUet.i- .'^ .'.'■■• :m ■.:•*>.' '

.. Mais U nefiaot puS'OVitdier cpip tes -proposi-tioti^ qui n^avoient él4 éti^ti!!$ quiâdaiia le ^ca^d^ex'p^i^satib ekytîeris' et ss^ns «igné» ne peuvent èlr&admises quf apràs tine <ïém'ù^^ti*atîon appliqu^c^k nouAielleid^Enition*, cft è'é^tiriiiri ^tilt^ment que ^-PQ, aipu^bl^i'tla généraUsatiîdtï si Wtilé' dbs théorèmes et des foijniuWrelatîfsUiix exposants.- '

Une de$ plus utiles ^plications^qu^oiv eh a^faites èoh^iste à considérer toUs^^le^nom^rescointiie'^^pdavaht^èifré' i^^rësenté^ par ifis puissattC(^»f)OshiiTf>9 oti'niêgâtivës d^iihë'inèMe base. Parlàilesiopératipiis isur Jts iiotifbreë'ii^'troXivént çopsidiérablepaeM sifnpi'ifiëesv 'lorsque oettie tfffhsftfritiatibn asété etïpctuée,r et qu'une table ««iffiisamfnietTt iEixabtc èr été cQpstjpui(e'£|<çet{eâib|. iNtwsin'^evi^ dirons: pas jdtiTëhtàgë éïiV la copc?ptiçiQ.|dtes; log0rî^m(%,fdbnt 'lèS'^tl'âités-'élétnléiitÀÎ^^^ pré3entçut Ui tUéoPÎef tsàns-âifficulM^pôS^iblé. - '

Cofiiinuité des ifonétîomi -^-^ La 'possfhiUté de ivpréèéiiter tous le$ nônibres pari une éx'poiiantiéH^ variable est fondée! sur la considét^tlonl»(le Ja'^eontinuité idie& fonctions, que nous démontnoas avec détail, 'èit qui conduiti quelques proposi tipn s i mpor tantes ^ s ur lés -polytiômes ^ntierè^.

Transformatio^i 4ié8 . fonctians et dèï équations^ — Nous nou3 jOcciçons! enduite «à^'unfe'raéthodè gériéralé dont les applications soiutrès-fréquentes et se tapî)è'rt\ènt' àiix questions les plus taHées^Jce^t celle de la tjf*at)sformâtîon des fonctions 9 ctpar auitedes ëqWtionSj'ptar chaiigettient de variables. La dépendance qu'on établit eritre les premières et les nouvelles variable» ou incônnuesy est arbitraire ot on

432 EXPOSÉ SYIfOPTlQUE.

la choisit suivant la nature des questions, en ayant soin d y laisser des quantités indéterminées dont on profite pour opérer des simplifications. Ce procédé est analytique, puisqu'il ramène une question à une autre, qu^on lâche de rendre plus simple; mais si le choix qu'on a fait de la forme de la relation des variables ne conduit pas à une question plus facile à traiter, on Tabandonne et on en cherche une autre : l'analyse ne peut que diriger des essais qui trop souvent ne réussissent pas. Nous avons fait quelques ap|>Iications de cette méthode à ia théorie des équations algébriques que nous traitons très-rapidement, en renvoyant aux traités spéciaux. Une transformation particulière nons a conduit à la considération des polynômes dérivés, dont nous avons démontré quelques propriétés utiles et qui isera généralisée plus tard.

Nous faisons connciitre ensuite une méthode très-féconde, due à Descartes; et qui a pour objet la détermination d^expressions dont la forme est donnée et dans laquelle il reste à chercher les valeurs de certains coefficients. On obtient les équations qui les font connaître par le procédé général qui consiste à vérifier si les conditions de la question soat remplies. Descartes an a fait Tapplication à la théorie des équations du quatrième degré, et au problème général des tangentes aux courbes.

Mais pour que Temploi de cette méthode soit sûr, il faut que la forme que Ton prend pour l'expression chejrchée soit rigoureusement établie; ou que, si elle est prise d'abord hypolhétiquement, on démontre à la fin qu'elle satisfait : conditions auxquelles malheureusement on ne se soumet pas toujours.

Nous terminons ces premiers éléments de la science des nombres par Tétude des séries. La méthode de développiement des fonctions en séries a pour but de remplacer des expressions compliquées p^r des expressions plus sinypi^s^

EXPOSÉ STlfOPTIQUE. 4^3

mais aussi dont le nombre est illimité. Nous établissons les conditions rigoureuses qui rendent leur emploi légitime, et nous doninons les principales règles au moyen desquelles ■on peut reconnaître si elles sont remplies.

SCIENCE DE L'ÉTENDUE

^ . Les objets qui nous entourent font naître en nous les idées de grandeur, de formo, de situation, de pluralité, de résistance, de couleur, et bien d'autres encore. La faculté d'abstraire, qui nousiqst naturelle, nous permet de nous occuper isolément d^une ou de plusieurs de ces pix>priétés ; ce qui en rend Vétude plus facile. .

INous avons commencé par i^con$idérer exclusivement la pluralité ou le nombre, comme étant la nation' la plus simple^ et un élément indispensable de l'étudë^e toutes les autres : noua avons indiqué les iodées premières qui accompagnent nécessairement celle des nomlM'es, et nous avons Gon^itué les éléments de cette science. '■■■ ' > . Nous sommes pass^ ensuite à l'étude des eorpg considérés seulement spusi le rapport de !« tendue^; Nous avons' établi les notions premières' d^t toutes les ' lois dé l'étendue sont des conséquenoes nécessaires, et qui résultent d^expériences, d'observations et de réflexiobs dont nous avons perdu la trace, mais qui ont laissé. en nous le sentiment QOjinplet de révi4en ce. Ces notiops^ quoique plus multipliées que pour la science des nombl'es, sont cependant assez restreintes. Il faudrait leur en ajouter iquel<^nes autres si Ton voulait considérer les corps sous le rapport de leurs actions mutuelles et des mouvements qui peuvent en résulter; et ibien d'autres encore si l'on voulait lés considérer avec toutes leurs propriétés naturellies; Mais la science de retendue, doit être étudiée, ainsi que celle des nèinbres, avant toutes les autres, parce qi|e dans- oes dernières les

434 ' BXPOSÉ SYNOPTIQUE.

idées de nombre et d'ëteftdue s'introduisent nécessairement, et c'est d'elles seules que nous nous occupons dans cet ouvrage. ,

Notions premières. — Les auteurs d'éléments de géométrie ne sont pas tous partis des mêmes notions premières, et il en est résulté des différences notables dans Tordre et la démonstration des propositions qui s'en déduisent iinmédiatement. .

Ainsi le Traité d'Euclide diflfifere beaucoup, au début, des plus célèbres Traités •modernes, par suite de la notion différente qu'ils admettent pour la ligne droite. Euclide la considère comme déterminée de position' par deux de ses points; les autres la définissent cbnnhe le plus court chemin entre deux quelconques dé ses points. Celte dernière définition faciliterait beaucoup la démonstration des premières pt*0]^it>tfns ; ntais rfoùs avons fait voir qu'elle était tout à fait inadmissible/ Et, en éffÉt, en géothétrie l'égalité se reconnaît par 'la possibilité de la coïncidence, et la nolion de Tinégalité en est la conséquence; la comparaison des longueurs de lignes de formé quelconque, jpoùr lesquelles la superpositit>n est impossible, ne peut donc être conçue au début dé la science, et ne peut servir à la défi'nîtion de la plus simple de touttes les lignes, de celle à laquelle on cherchera à ramener toutes les autres.

Nous avons donc -jugé à propos d'abandoliner complètement les errements nouveaux,' et de revenir à l'exposîtiôn faite par Euclide des premières théories de la science de rétendue.-

Mesure dès grandeurs. — Nous avons procédé ensuite à la mesure des ^quantités pour lesquelles la question peut être ramenée à ht cofisidération de l'égalité, tels sont les figures planes içriirinées par des lignes droites, les àngtes et les solides prismsrtiques. Enfin nous avons résolu un certain nombre de problèmes, comme exemples de diverses

EXPOSÉ SYJNOPTIQUE. 4^5

méthodes applicables à ces sortes de recherches, et particulièrement de la méthode analytique qui les domine toutes, et que nous avons fait ressortir avec grand soin.

Des quantités considérées comme limitt^s de séries ou de sommes d^injînimcnt petits, — La comparaison des grandeurs ne peut pas toujours être ramenée à la considération de régalîté. Les figures planes terminées par- des droites peuvent être décomposées en triangles dont la mesure se ramène à celle des rectangles^ dont la comparaison au carré pris pour unité s^effectue par la décomposition en parties égales. Mais il q «n est pas^demème des figures terminées par des courbes; et pour la comparaison des surfaces des cercles soit entre elles, soit avec Tuni té/ il a fallu avoir recours à de nouvelles conceptions < C*<ist à cette occasion que les anciens géome^tres ont* imaginié de coi^sidérer les grandeurs comme limites'djiitres grandeurs variables, dont la comparaison était plus facile.MIs cherchaient alors la re« lation entre ces nouvelles gra^ndeurs, et après en avoir tiré par induction celle qui devait exister entre les proposées, ils la démontraient rigoureusement par la méthode de réduction à Tabsurde. Les variables considérées par Euclide spnt des sommes de grandeurs constantes en nombre indéfiniment croissant ; c'est-à-dire, dans notre langage, qu'il regarde les quantités en question comme limites dç la somme des termes de séries convergentes : et tl dénK)ntre cette convergence en s'appuyant sur ce- théorème* général que si l'on 6te d'une quantité quelconque plus de sa moitié, puîà du reste plus de sa moitié, et ainsi de suite indéfini ment, on pourra parvenir à un reste moindre que tonte quantité désignée. • '

Archimède, au lieu de considérer les qtiantité.s.à mesurer comme égales à une somme de quantités fixes, plus un reste indéfiniment décroissant, les considère comnie composées d'une somme de quantités variables indéfiniment décrois-

santés, et d'un reste pouvant devenir moindre que toute quantité donnée.

C'est à cette occasion que nous avons exposé les principes de la méthode des limites et de la méthode des infiniment petits. Nous en avons fait l'application à diverses questions traitées par Euclide et Archimède, et qui se rapportent à la mesure des surfaces planes, des surfaces courbes et des volumes des corps terminés par ces surfaces. Et nous ferons remarquer qu' Archimède est le premier qui se soit occupé de la mesure des lignes courbes et des surfaces courbes ; il à demandé à cet effet qu'on lui accordât quelques propositions comme évidentes, et il a pu ainsi accroître considérablement la science. Mais quoiqu'il n'adopte pas pour la ligne droite la définition des auteurs modernes, il ne définit pas plus qu'eux ce qu'il entend par l'égalité delongueur de lignes qui ne sont pas super posabl es. C'est pour cela que nous rejetons sa théorie et que nous la remplaçons par une autre que nous espérons que Toii adoptera un jour.