DE L'ÉTENDUE

Toutes les grandeurs que l'on considère dans la géométrie étant susceptibles d'être exprimées en nombres, on conçoit la possibilité d'appliquer Tune à l'autre chacune de ces deux sciences. Pour résoudre un problème de géométrie au moyen des théories de la science des nombres, on commence par chercher des équations entre les lettres qui représentent les lignes, tant connues qu'inconnues, qui entrent dans la question; et nous faisons connaître à cet effet la règle générale donnée par Descartes, et reproduite par Newton. Les équations étant trouvées et résolues^ on a les formules des opérations à faire sur les nombres qui mesurent les grandeurs données, pour obtenir ceux qui mesurent les inconnues. Arrivé à ce point, il y a deux manières d'aebe-

ver la solution, suivant qu'on se propose de calculer réellement ces derniers nombres, ou de trouver les constructions à faire au moyen des grandeurs données pour obtenir les grandeurs cherchées. Dans ce dernier cas, le calcul est un intermédiaire qui ramène les constructions demandées à celle des expressions algébriques, pour laquelle on a quel' ques procédés généraux.

Il y a une remarque importante à faire sur les équations qui renferment une ou plusieurs espèces de grandeurs concrètes évaluées en nombres, sans que pour aucune d'elles on ait pris une des grandeurs données pour unité. Elle consiste en ce que tous les termes sont homogènes par rapport à chacune des espèces distinctes de grandeurs; elle n'avait pas échappé à Descartes, mais nous avons du la traiter avec beaucoup plus de développement.

Quantités nègaiwes dans les résultats ou dans les don" nées. — Nous avons présenté, comme exemples des méthodes, quelques problèmes de géométrie, et nous avons discuté avec beaucoup de soin les divers cas qu'ils renfermaient. Dans l'un d'eux nous avons remarqué une solution étrangère, et nous avons montré que cela tenait à ce qu'il n'y avait pas réciprocité entre le problème proposé et le problème de calcul auquel on l'avait ramené. Dans d'autres nous avons reconnu que les équations auxquelles on était conduit en partant de chacun des cas que le problème comporte, étaient quelquefois les mêmes et quelquefois différentes par certains termes. Ces différences peuvent disparaître par la suite du calcul, surtout par Téliminalion de radicaux du second degré; mais elles peuvent aussi subsister dans les équations rendues rationnelles. Plusieurs des problèmes que nous avons tràîtésont conduit à des équations différant les unes des autres par les signes des termes renfermant l'inconnue à des puissances impaires seulement; et cette circonstance correspondait à un changement de direc-

tion delà ligne représentée par cette inconnue. Il est résulté de là que Tune des équations suffirait, à la condition de porter les lignes correspondant aux racines négatives, dans le sens contraire à celui qu^on avait choisi pour mettre en équation.

Nous avons reconnu qu'une formule importante, d'un emploi très-fréquent , se trouvait généralisée par cette même considération ; c'est celle qui exprime la distance de deux points. Une seule forme suffît à représenter les cas très- variés auxquels peuvent donner lieu les positions rela*tives des extrémités. La démonstration doit en être faite, une fois pour toutes, pour tous les cas possibles 5 et Ton peut ensuite l'appliquer sans nouvelle discussion et sans avoir besoin de se préoccuper d'aucune règle de signes, puisque la démonstration de sa généralité est faite sous la condition expresse que les opérations sur les quantités négatives soient exécutées suivant les règles démontrées dans le cas des polynômes, le seul où elles aient un sens.

Cette formule et d'autres qui, comme elle, se présentent souvent dans l'expression des conditions géométriques en équations, étant démontrées générales sous les conditions que nous venons d'énoncer, rendent assez facile la démonstration de la généralité des équations, quand elle a lieu. Mais il ne faut pas oublier que cette démonstration est indispensable, et que la science doit repousser les principes fondés sur des analogies vagues , indépendantes de la nature des questions auxquelles on prétend les appliquer.

Trigonométrie. — Les données et les inconnues des problèmes de géométrie étant des lignes droites et des angles, il aurait été utile d'avoir des équations entre ces quantités; mais la complication que présenteraient ces relations y a fait renoncer, excepté dans quelques cas très-particuliers. D'ailleurs, ces sortes d'équations ne sont connues que depuis les progrès récents de la théorie des séries, tandis que

EXPOSlfe SYNOPTIQUE. 439

celles qui sont utiles dans les cas ordinaires le sont depuis très-longtemps.

L'idée heureuse qu'ont eue les anciens pour éluder la difficulté de trouver des relations entre les côtés et les angles des triangles, problème auquel se ramènent tous les autres ; a été de considérer, au lieu des angles eux-mêmes, des droites qui les déterminent, et, réciproquement, sont déterminées par eux. Us ont choisi à cet effet les lignes, ou mieux les rapports de lignes, les plus commodes, et ont trouvé des relations entre ces quantités et les côtés des triangles. Us ont ensuite construit une table qui faisait connaître les unes par les autres ces quantités et les angles correspondants; de sorte qu'il était indifférent d'avoir des équations dans lesquelles entrassent les angles, ou ces quan-^ tités auxiliaires que Ton nomme lignes trigonométriçues.

Généralité des formules trigonométriques , — Cette conception est Tune des plus importantes dans l'application réciproque de la science des nombres et de la géométrie ; et ce qui accroît beaucoup l'utilité des équations auxquelles elle conduit, c'est la possibilité de renfermer, sous un seul type, toutes les formules relatives aux divers cas qu'une même question peut présenter. Le mo^en unique par lequel on y parvient consiste encore à regarder comme implicitement négatives dans les formules, les quantités qui se trouvent dirigées en sens opposé à celui qu'elles avaient dans les figures qui ont servi à trouver les formules. La condition expresse de cette extension est qu'on exécute les opérations sur ces quantités négatives d'après les règles démontrées dans le cas des polynômes; de sorte qu'il n'y a encore aucune question à se faire sur cette manière d'opé- *rer, puisqu'il a été démontré que cette manière d'agir est un moyen sûr de tirer tous les cas particuliers d'un seul système d'équations, au lieu d'en employer plusieurs ; ce qui est un avantage considérable dont on pourrait à la ri-

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gueur se passer, mais qail ne serait pas raisonnable de repousser.

Après avoir établi ces propositions avec tout le soin que réclamait leur importance, nous sommes passé aux ques* tions où Ton ne considère plus un seul point ou plusieurs en nombre fini, mais une infinité de points assujettis à des conditions communes, et formant un lieu continu de forme quelconque.

Équations des lieux géométriques. — Lorsque l'on cherche un point seulement , on trouve deux équations entre les. grandeurs qui doivent le déterminer, et qu'on nomme ses coordonnées. Mais lorsqu'on doit avoir une infinité de points formant un lieu continu, on ne doit avoir qu'une seule équation entre les coordonnées d'un quelconque de ses points. Il se présente alors deux genres de questions : suivant qu'on cherchera l'équation d'un lieu d'après une propriété géométrique commune à tous ses points^ ou que, l'équation étant donnée, on se proposera de trouver la forme et les propriétés du lieu.

Nous avons commencé par donner quelques exemples de la recherche des équations de lieux géométriques dans divers systèmes de ccfcrdonnées; et quelques-uns d'entre eux ont présenté le cas de solutions élrangères ou de solutions perdues. Nous avons reconnu que cela tenait, comme il était facile de le prévoir, a la non-réciprocité, dans un sens ou dans l'autre, entre les conditions de la question géométriques, et celles que l'on exprimait, soit dans les premières équations, soit dans celles auxquelles a conduit la suite du calcul.

Il arrive souvent aussi que différentes parties d'un lieu défini géométriquement sont représentées par des équations différentes^ si l'on prend toutes les lignes en valeur absolue, mais que ces équations se réduisent à une seule, si l'on y regarde comme négatives les lignes de sens contraire au

sens jNrimitif. Dans ce cas on généralise la première équation en y introduisant cette condition déjà admise dans d'autres cas pour le même objet. Et il est inutile de dire que si Ton ne pouvait réduire plusieurs équations à une seule que par un moyen qui ne serait pas conforme à ceux précédemment admis, on se garderait bien de le faire, parce qu'il en pourrait résulter des contradictions, ou tout au moins une confusion qui ferait perdre tous les avantages qu'on aurait cherchés dans ces généralisations.

Lieux d'^ équations données, — Nous avons traité ensuite la question inverse, et nous nous sommes proposé de construire le lieu de tous les points satisfaisant à une équation donnée.

Il y a lieu d'abord de se demander quel usage on fera des solutions négatives ou imaginaires que l'équation pourrait présenter, et il faut distinguer deux cas :

Ou les conditions d'après lesquelles cette équation a été obtenue demandent, comme nous Tavons vu dans plusieurs problèmes, que les solutions négatives soient portées en sens inverse des positives, et qu'on ne tienne aucun compte des solutions imaginaires ^

Ou l'équation a été donnée à priori^ sans conditions, et seulement comme exercice arbitraire ; en un mot, comme une question de fantaisie.

Dans le premier cas, tout est prévu, et l'on n'a qu'à se conformer aux prescriptions.

Dans le second on est maître de faire ce que l'on veut. On construira uniquement les solutions négatives, si cela plaît; on ne construira que les négatives, et on les portera dans le sens que l'on voudra; on construira ainsi les unes et les autres, si cela convient; on construira des points d'une manière quelconque au moyen des solutions imaginaires : tout cela est permis à celui qui ne s'est proposé, comme nous l'avons dit, qu'une question de fantaisie. C'est

faute de faire celte distinction que Ton trouve quelquefois des difficultés dans Fi nterp relation des solutions d'une équation posée sans conditions et sans connaissance de son origine.

Le changement de système de coordonnées, si souvent utile, se fait au moyen de formules dont on démontre la généralité sous les mêmes conditions que les formules antérieurement discutées. 11 résulte de là des conséquences importantes sur la mise en équation des problèmes et sur l'interpréta tion des solutions négatives. Parmi les remarques que nous avons faites à ce sujet, nous indiquerons la proposition suivante :

Si une équation polaire a été obtenue en partant d^une équation rationnelle entre les coordonnées rectilignes, chaque point du lieu pourra être construit de deux manières différentes : l'une par une valeur positive du rayon vecteur portée dans la direction déterminée par la va^ leur correspondante de V angle; Vautre, par une valeur négatii^e du rayon portée en sens contraire de la direction déterminée par la valeur de V angle qui a donné cette valeur négatii^e.

On pourra se borner à un seul de ces procédés, et alors, pour avoir tous les points du lieu, il faudra faire passer l'angle de zéro à quatre droits. Mais si l'on admet les solutions positives ainsi que les négatives de la manière que nous venons d'indiquer, il suffira de faire varier l'angle de zéro à deux droits.

Mais il faut bien remarquer que cette proposition ne s'applique qu'à l'équation polaire telle qu'elle résulte de la transformation des coordonnées', et si elle était décomposable en plusieurs autres, rationnelles par rapport au rayon vecteur, la double construction, n'étant démontrée que pour leur ensemble, n'aurait généralement lieu pour aucune des deux.

EXPOSÉ ST2V0PTIQUB. 443^

Problème des tangentes. — Après avoir fait Tapplication des théories précédentes aux lignes représentées par ]e6 équations du premier et du secoud degré, nous avons traité Tiniportante question des tangentes aux courbes de degré quelconque. Descartes est le premier qui ait considéré le contact de deux courbes, ou d'une courbe et d'une droite, comme limite de l'intersection de deux lignes dont Tun des points communs se rapproche indéfiniment de Faulre. Nous avons montré comment, à ce point de vuç, le problème des tangentes dépend de la limite du rapport de deux infiniment petits, qui peuvent toujours se ramener aux accroissements correspondants des deux coordonnées, quel que soit le système auquel les points soient rapportés, de sorte que l'on peut énoncer cette proposition générale :

Le problème géométrique des tangentes est ramené à ce problème de calcul : Troui>er la limite du rapport des accroissements infiniment petits correspondants de deux variables liées par une équation donnée.

Nous avons donné quelques exemples de cette recherche: dans les uns les points du lieu étaient déterminés par une équation entre les coordonnées; dans d'autres ils l'étaient par des conditions géométriques, mais c'est toujours à la limite du rapport de deux infiniment petits que le problème était ramené.

La considération des rapports d'infiniment petits ne s'applique pas seulement aux questions de tangentes, mais à beaucoup d'autres de nature très-différente. Nous les avons appliqués à la courbure des lignes planes, à la vitesse et à l'accélération dans le mouvement varié quelconque d'un point en ligne droite; et nous avons montré en général comment les limites de rapports d'infiniment petits ramenaient la considération des variations les plus compliquées à celle de l'uniformité, ce qui est le plus haut degré

possible de simplicité. Mais c'est à la condition de décomposer la grandeur en éléments infiniment petits, et de la regarder comme limite de la somme de ceux d'espèce plus simple par lesquels on les remplace.

Application de la géométrie à la science des nombres* — Les propositions de géométrie qui sont susceptibles d'être exprimées en formules, et donner lieu à l'application de la science des nombres, peuvent réciproquement être appliquées au calcul et conduire à des théorèmes ou à des solutions de problèmes de la science des nombres. Nous n'avons pas cru devoir donner une très-grande étendue à cette partie de la science, et nous nous sommes borné à indiquer Tusage qu'on en a fait dans la théorie des équations, et dans quelques recherches de limites de sommes d'infiniment petits.

Enfin, nous avons montré les avantages que la science des nombres pouvfiit tirer de l'application des lignes trigonométriques aux expressions imaginaires^ nous. avons démontré la certitude des résultats obtenus par *es procédés singuliers qui semblent d'abord n'avoir rien de scientifique et de sérieux, mais qui constituent un puissant moyen de transformation et de généralisation. Nous avons commencé par bien fixer le sens que nous attachions à une équation entre des expressions imaginaires. L'égalité des parties réelles des deux membres, ainsi que l'égalité des parties imaginaires, a été la condition expresse et non la conséquence d'une pareille équation, ce qui est l'inverse de ce que l'on a fait si longtemps. Nous avons montré que ces expressions, quand elles étaient produites par la résolution des équations, devaient, pour y satisfaire, être traitées par les règles ordinaires comme si elles étaient de véritables quantités, et que, lorsqu'elles étaient introduites arbitrairement dans le calcul, c'était toujours sous la condition expresse qu'elles fussent traitées de la même ma-

nière : d'où il résulte qu'il n'y a aucune règle à démontrer sur ces symboles, et que chercher à le faire serait mécounaitre les conditions de leur introduction.

L'un des théorèmes importants que nous avons choisis pour montrer l'avantage de la transformation trigonométrique des expressions imaginaires, est celui qui sert de base à la théorie générale des équations. Il consiste en ce qu'une équation de deg^é quelconque, à coefficients réels ou imaginaires, admet toujours une racine réelle, ou une racine imaginaire de même forme que celles des équations du second degré, sous la condition expresse qu'elle sera traitée suivant les règles établies pour les quantités réelles. Il résulte de ce théorème que toute équation du m*^"*' degré a m racines, et que tout polynôme de degré m peut être regardé comme le produit de m facteurs du premier degré. Ces facteurs sont réels ou imaginaires, et, par l'emploi de ces symboles singuliers, toutes les transformations et tous les calculs si utiles, fondés sur la décomposition des polynômes en facteurs du premier degré, prennent un degré de généralité qu'il ne serait pas possible de leur donner, si l'on s'assujettissait à n'admettre que les formules réelles.