CHAPITRE II
des parties interceptées sont égales deux à deux ^ et si on les prend pour inconnues et qu'elles soient données par une seule équation, elle n'aura que deux racines différentes, et Ton doit penser qu'elle sera réductible au second degré.
Soit donc X la distance de B au milieu M de XY, les segments BX et BY auront pour valeur — V-x ex xi AX
etBX seront déterminés par les proportions
AX m AY =^ m
et l'équation AX -h AY = m' deviendra
qui devient, en réduisant,
ou, en posant x* = z,
On en tire
ru , / —
z r=z a^ -\- -y- ± \a* -+- a^in}.
Ces deux valeurs sont toujours réelles et inégales; celle qui correspond au signe -h du radical est toujours positive, et par conséquent donnera pour x une valeur réelle : la condition pour que l'autre soit positive est
Or 8 a* est le carré de la partie de la perpendiculaire à AB interceptée dans l'angle VAU. Cette longueur est donc le minimum de m pour qu'il y ait des solutions dans cet angle. Si m était au-dessous, les solutions se réduiraient à celles qui se rapportent aux angles VAU', VAU. La condition m* > 8a* est donc celle que l'on trouverait en exprimant que toutes les racines de Téquation (2) sont réelles.
27. — Par un point ^de la bissectrice d^un angle droit , mener une sécante XY telle, que le triangle YAX soit égal à un carré donné rn^.
Ce problème est encore plus facile à résoudre que le précédent 5 aussi ne le présentons-nous que pour les remarques utiles qu'il nous permettra de faire.
L'analogie pourrait porter à croire qu'en prenant pour inconnue AX on parviendrait à une équation du quatrième degré, puisqu'il peut y avoir quatre solutions du problème, correspondantes à quatre valeurs différentes de AX. Et cependant l'équation ne sera que du second degré, parce que dans ce cas l'expression des conditions géométriques ne conduit pas, comme dans le précédent, à des formes identiques.
En effet, désignant AX par jc, AY aura comme précé-
demment pour expression si X est à droite de C, et
ÛX
a: — a ax
si X est entre A et C. Dans le premier cas, la sur-
— ax"^
face du triangle aura pour mesure 9 etl'égalant à m*,
on obtiendra l'équation
im^
(i) x"^ x-\-im-=:o.
Dans le second cas, a — x remplace x — a , et la surface
CnAPIT&E II. 49
- ax"^
du triangle aura pour expression \ mais comme ils ne
doivent pas être élevés au carré, les deux équations ne seront pas les mêmes , et la valeur de x qui lui correspond ne doit pas satisfaire à la première équation. On trouve en effet alors
Enfin, si le triangle se trouve dans l'angle VAU', et qu'on désigne AX" par x, on aura
ax
— ax"^
la surface du triangle aura pour mesure — ^ — j et l'on sera
conduit à une équation qui ne différera de (2) que par. le changement de signe de x, et dont les racines seront par conséquent égales au signe près à celles de (2). Cette dernière aura donc nécessairement une racine négative égale en grandeur à AX'^, et suffira pour les deux cas, en portant cette racine en sens contraire de la positive.
Le problème conduit donc à deux équations du second degré et non à une seule du quatrième. Ce n'est pas qu'on ne pût prendre une marche telle, que l'on parvînt à une équation du quatrième degré, décomposable dans les deux précédentes, ce qui serait moins simple que de trouver directement celles-ci 5 mais il y aurait toujours cette différence entre les deux questions, que dans l'une on ne peut séparer les quatre solutions, et qu'en en cherchant une on introduit forcément les trois autres; tandis que dans l'autre question elles se trouvent naturellement séparées en deux groupes représentés par deux équations distinctes, auxquelles on est immédiatement conduit par l'expression des conditions géométriques.
5o SCIENCE DE l'ÉTEHDUE.
28. L'équation (2), ayant son dernier terme négatif, a nécessairement ses deux racines réelles : l'une positive qui résout seule la question posée, l'autre négative et qui peut servir à résoudre celle qu'on ne chercliait pas. Mais il en est autrement de l'équation (i), dont le dernier terme est posiftif, et qui peut alors avoir ses racines imaginaires. La condition, pour qu'elles soient réelles, est m* ^ 2a".
Or la? est la surface du triangle obtenu en menant une perpendiculaire à AB. C'est donc dans cette position qu'on a le minimum de l'aire du triangle déterminé par une sécante quelconque menée par B. Si m* est plus grand, on a deux solutions ; s'il est égal à ce minimum, on trouve pour X deux racines égales à 2 a.
29. Généralisation de V expression de la distance de deux points.
Dans les problèmes de Géométrie, où les longueurs des lignes droites jouent le principal rôle, on conçoit que l'on doit avoir souvent à considérer la distance de deux points connus ou inconnus; et que, par conséquent, quand on traite ces problèmes par le calcul, l'expression de cette distance au moyen des grandeurs qui déterminent ses extré** mités, doit souvent se rencontrer. Nous en avons eu des exemples dans le petit nombre de problèmes que nous venons de traiter ; et nous avons reconnu que la formule qui la représente change de forme suivant la disposition des points.
Cette différence de disposition peut se rapporter aux points donnés ou à des points inconnus ; quelquefois on peut la considérer comme donnant lieu à autant de problèmes différents, que l'on peut traiter séparément. Souvent aussi, comme nous en avons vu des exemples, on ne peut isoler ces différentes questions, et le résultat cherché d'après Tune des suppositions convient aux autres , soit complètement, soit avec certaines modifications. Mais dans tous les
