CHAPITRE II
La proportion précédenle suppose le point X à droite de G. S'il était à gauche, et entre A et C, les triangles semblables donneraient
AY^ a
AX' ""û — AX'
ou, en supprimant les accents,
AY a
mais en effectuant les calculs on tomberait encore sur l'équation (i), parce que le développement de [a — x) ' est le même que celui de (x — «) *.
Mais si la sécante menée par B rencontre la droite donnée AU, de l'autre côté de A, en X'', la proportion sera
AY" a kX" a
ou
AX'' rt-hAX" X a-^x
et l'équation en x différera de ( i ) par le changement de signe de x \ les racines de ces deux équations seront donc les mêmes au signe près.
On voit par cette discussion que l'équation (i) donnera les valeurs absolues des distances de A à tous les points X situés du même côté de A que le point C, et satisfaisant à la question^ et qu'elle aura une racine négative égale en grandeur à la racine positive AX'' de l'équation qui donne le point qui résout le problème, et est situé du côté opposé à C \ d'où l'on conclut que l'équation (i) suffira pour la solution complète de la question, à la condition que ses racines négatives seront portées à partir de A en sens contraire des positives.
Cette équation développée est
(a) x^ — lax^ 4- (2«^ — /w') x' 4- lanî^x — af^w} = o.
Si toutes ses racines sont réelles, la règle des signes de Descartes annonce que Tune d'elles est négative et les trois
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autres positives. Il y aura donc alors trois points à droite de  satisfaisant à la question, et un seul à gauche. Ce dernier correspondra à Tinscription de la grandeur m dans l'angle VAU', ce qui est toujours possible.
Il y a de même une inscription toujours possible dans l'angle UAV et correspondante à une valeur de x plus petite que A*, et l'équation (a) annonce l'existence certaine de cette racine, parce que son premier membre prend des valeurs de signes contraires quand on y remplace successivement X par o et a.
Mais rien n'annonce avec certitude la réalité des deux autres racines*, et, effectivement, elles n'existeront pas si la valeur donnée m est au-dessous du minimum de longueur des droites inscrites dans l'angle VAU, et passant par a. On pourrait cliercher la condition pour que les quatre racines de Téquation (i) soient réelles, et on reconnaîtrait qu'elle exprime que m est supérieur à ce minimum; mais il sera plus facile d'obtenir la solution complète du problème en le traitant par un autre procédé, qui aura l'avantage de montrer combien le choix des inconnues a d'importance, et doit être fait avec discernement.
26. De la grandeur q\t!il était avantageux de choisir pour inconnue.
L'inconnue que nous avions choisie était susceptible de quatre valeurs différentes, et devait conduire par conséquent à une équation du quatrième degré au moins 5 mais s'il existait une grandeur propre à déterminer les quatre positions* des droites cherchées, et qui ne fut susceptible que de deux valeurs différentes, leur détermination pourrait dépendre d'une équation du second degré seulement, ce qui éviterait toutes les difficultés de la discussion.
Or, à cause de la symétrie de ces quatre sécantes deux à deux par rapport à AB, les distances du point B aux milieux
