CHAPITRE II

triangle qui est parallèle à Taxe des x est M''I, qui a pour valeur a:-|- AP''^ de sorte que si on désignait AP'' par x', le terme [x — x'Y de la formule (i) devrait être changé en [x-i-x'Y] il faudrait donc une seconde formule pour exprimer dans ce cas la distance MM ^' des deux points.

Mais il est clair que la première suffirait si Ton entendait que x' y sera remplacé par — AP'', avec la condition que la soustraction de cette quantité négative se fera suivant la règle des signes des polynômes, car alors x — x' deviendra X H- AP'' ou M''I. On se procurerait donc l'avantage de renfermer deux formules en une seule, en y entendant que X désigne une ligne quand il se trouve du côté AX, et moins une ligne quand il est porté du côté opposé.

Cependant il ne faut pas trop se hâter de conclure 5 car tout devant concorder dans un système, il faut que cette manière de renfermer deux équations en une seule ne soit pas en opposition avec les autres expressions qui peuvent entrer dans le même calcul. Il faut donc examiner ce qui arrivera si les deux points sont du côté AX', et que l'on entende que les deux x sont implicitement négatifs et représentent, non les distances à AY, mais ces distances affectées du signe — . Or, il est clair que quelle que soit la plus grande des deux, en faisant la soustraction des quantités négatives suivant les règles des polynômes, on aura la différence même des denx lignes, affectée du signe -h ou du signe — 5 ce qui donnera bien le carré du côté du triangle si on effectue encore l'élévation au carré d'après les règles démontrées pour les polynômes.

D est évident que le côté du triangle qui est parallèle à Taxe des j donnera une discussion entièrement identique, et nous pouvons par conséquent énoncer cette proposition générale :

La formule (i) exprimera le carré de la distance de deux points placés d'une manière quelconque sur le plan, à la

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condition que x, j^, x', y^ désigneront les distances aux axes quand elles seront comptées sur les directions fixées à volonté AX, AY5 et qu'elles désigneront ces distances affectées du signe — , quand elles seront dirigées du côté opposé, et sous la condition expresse que ces quantités négatives isolées seront traitées suivant les règles des signes démontrées pour les polynômes. De sorte qu'il n'y a pas à demander la démonstration de règles pour les quantités négatives isolées. Cette manière de les traiter est la condition de la généralisation. On peut ne pas généraliser si l'on veut, mais notre discussion prouve qu'on ne peut le faire qu'à cette condition.

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