APPLICATION DE LA SCIENCE DES NOMBRES

formules générales à la mesure des lignes droites pHses dans les figures ou les solides proposés.

L'application des nombres à la Géométrie se présente donc dès les commencements de cette science; mais elle n'est pas bornée à l'évaluation des grandeurs dont les éléments sont donnés. Elle peut s'étendre à celles dont les éléments sont inconnus, et'doivent être l'objet de recherches préalables.

Ces recherches peuvent être effectuées de deux manières très-différentes : ou par des constructions, qu'on déduit de la dépendance que la question établit entre les données et les grandeurs inconnues, ce qui rentre dans les procédés de la Géométrie pure, dont nous ne devons pas nous occuper ici; ou par des calculs auxquels cette dépendance peut conduire.

Et, en effet, toutes les grandeurs étant susceptibles d'être réduites en nombre, si les conditions et les relations données entre ces grandeurs concrètes peuvent conduire à des équations entre les nombres connus ou inconnus qui les représentent, la question rentre dans la science des nombres et se trouve ramenée à la résolution des équations.

Ainsi, pour résoudre par le calcul une question de Géométrie où l'on a pour objet la détermination de certaines grandeurs, on commencera par représenter toutes les quantités, tant connues qu'inconnues, par des lettres On cherchera à déduire des conditions de la question autant d'équations qu'il y a d'inconnues, si cette question est déterminée, et, si l'on peut résoudre ces équations, on obtient des formules qui représentent les valeurs des inconnues.

2. Arrivé à ce point, il y a deux manières très-différentes d'achever la solution.

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Si l'on s'est proposé cle déterminer la valeur numérique des grandeurs, c'esi-à-dire s'il s'agit d'une réalisation pratique, il suffit de substituer aux lettres, dans les formules trouvées, les nombres particuliers qu'on obtiendra par la mesure des données; et l'on connaîtra les rapports des grandeurs cherchées à l'unité qu'on aura choisie.

Si, au contraire, on s'est proposé de déterminer la suite des constructions à faire pour obtenir les grandeurs inconnues dans toutes les questions de même espèce, il ne faudra pas réduire effectivement en nombres les quantités données, mais déduire de la formule numérique exprimée en lettres, une formule géométrique^ c'est-à-dire l'indication générale des constructions à faire avec les données pour obtenir les inconnues.

3. Au lieu de se proposer de déterminer certaines quantités, on peut avoir en vue la démonstration de propositions énoncées. Si ces propositions sont susceptibles d'être exprimées par des équations entre les grandeurs en question, on représentera ces grandeurs par des lettres, et l'on cherchera à déduire des conditions de la question, des équations d'où il soit possible de tirer, par des combinaisons convenables, celles qu'on cherche à démontrer. Si Ton y parvient, la question est résolue; il n'y a ni réduction en nombres, ni constructions à elTectuer : la représentation des grandeurs par des nombres n'était qu'une fiction, ayant pour objet de substituer le mécanisme du calcul à des déductions géométriques moins naturellenrent indiquées.

Réciproque, — Mais lorsque l'on a des équations entre les nombres qui représentent des grandeurs connues ou inconnues, au lieu de faire servir la résolution de ces équations à la détermination des grandeurs, on peut réciproquement faire servir la construction de ces grandeurs à la

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délermination des solutions de ces équations. On voit donc qu'il est possible d'appliquer la Géométrie à la science des nombres, aussi bien que la science des nombres à la Géométrie. Nous nous attacherons d'abord à ce dernier point de vue : plus tard nous traiterons l'autre avec tout le soin que mérite son importance.

AVANTAGES ET INCONVÉNIENTS DES SOLUTIONS GRAPHIQUES ET DF.S SOLUTIONS NUMÉRIQUES DES PROBLEMES DE GÉOMÉTRIE.

4». Lorsqu'on a déterminé l'expression littérale d'une quantité géométrique, nous venons de dire qu'on pouvait chercher à en déduire une formule de construction, ou la réduire en nombres, en remplaçant chacune des lettres par le nombre particulier qui exprimera la grandeur correspondante. Comparons les avantages que présentent ces deux procédés dans la pratique.

Observons pour cela que l'imperfection des instruments introduit toujours des inexactitudes dans les constructions. Si donc on tient à une grande approximation dans les résultats, on devra choisir le procédé qui demandera le moinsde constructions.

Dans la résolution numérique on a toutes les erreurs provenant de l'expression des données en nombres ; mais le calcul n'en produit pas de nouvelles, ou, s'il en introduit, elles peuvent être assez diminuées pour qu'elles n'aient pas d'influence sensible sur les résultats, et on peut se dispenser d'y avoir égard. Il ne reste donc plus que l'erreur provenant du passage final de la valeur numérique à la grandeur concrète.

Dans la résolution purement graphique, on peut déjà avoir des erreurs provenant de ce que les données ont du être reportées sur le plan où Ton doit effectuer les constructions^ elles seront augmentées de toutes celles qui seront

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produites par la suite des constructions qui seront effectuées, et il est impossible de dire en général lequel des deux procédés est le plus exact : cela dépend de la nature des questions.

Dans celles qui dépendent de la coupe des pierres, de la charpente, de la perspective, les solutions graphiques sont généralement les seules dont on doive faire usage.

Dans celles qui ont pour objet les mesures terrestres ou astronomiques, l'extrême précision doit être cherchée, et par conséquent il faut, le plus possible, réduire les constructions et avoir recours au calcul.

Les mesures terrestres ont pour objet la détermination des positions relatives de points situés à la surface de la terre, et c'est à quoi l'on parvient en les liant par des droites qui forment un réseau de triangles rectilignes contigus. Les questions astronomiques conduisent plus ordinairement à la considération de triangles sphériques, formés par des arcs de grands cercles tracés sur une même sphère. D'où il suit que la théorie de la mesure des éléments des triangles, soit rectilignes, soit sphériques, ou la Trigonométrie^ doit jouer un grand rôle dans la résolution numérique des questions de Géométrie; et c'est une des premières dont nous nous occuperons.

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